2007-浙江卷文-16 填-购买组合计数

本题导读

本题考查组合数，以及分类加法计数原理。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 某书店有 $11$ 种杂志，$2$ 元 $1$ 本的 $8$ 种，$1$ 元 $1$ 本的 $3$ 种．小张用 $10$ 元钱买杂志（每种至多买一本，$10$ 元钱刚好用完），则不同买法的种数是 $\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设买 $2$ 元的 $x$ 本、$1$ 元的 $y$ 本：$2x+y=10$。
2. 约束：$0⩽x⩽8$，$0⩽y⩽3$。
3. $y=10-2x⩽3\Rightarrow x⩾3.5$，故 $x=4$（$y=2$）或 $x=5$（$y=0$）。
4. 分类组合：${\mathrm{C}}_8^4{\mathrm{C}}_3^2+{\mathrm{C}}_8^5$。

✅【答案】

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$266$

✍【详细解析】

Abstract

设买 $2$ 元 $1$ 本的杂志 $x$ 种，$1$ 元 $1$ 本的杂志 $y$ 种，则 $2x+y=10$，且 $0⩽x⩽8$，$0⩽y⩽3$． 由 $y=10-2x⩽3$ 得 $x⩾\frac{7}{2}$，故 $x=4$ 或 $x=5$： （i）$x=4$，$y=2$：从 $8$ 种 $2$ 元杂志中选 $4$ 种，再从 $3$ 种 $1$ 元杂志中选 $2$ 种，有 ${\mathrm{C}}_8^4{\mathrm{C}}_3^2=70\times 3=210$ 种； （ii）$x=5$，$y=0$：有 ${\mathrm{C}}_8^5=56$ 种． 由分类加法计数原理，共有 $210+56=266$ 种不同买法． （易错点：$y⩽3$ 这一隐含约束限定了 $x⩾4$；若漏掉会多出 $x=3$（$y=4$）这类超出 $1$ 元杂志种数的方案。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：购买组合计数

核心方法：列不定方程 $2x+y=10$，用约束 $y⩽3$ 剪掉非法解，分类组合计数

避坑指南：隐含约束（每种至多一本 → $y⩽3$）是解题关键；组合选”种类”而非”本数顺序”

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：购买/分配类计数题，实质是不定方程非负整数解 + 组合选择

结论推广：先列总价的方程，再用”每种至多一个”的约束剪枝，最后分类组合

方法推广：若不加”每种至多一本”限制，则要用隔板法处理重复购买，是另一个模型

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练(Links)

• 2014-四川卷理-06 单-分类加法计数原理
• 2007-大纲卷I文-05 单-分步组合计数
• 2007-大纲卷II文-10 单-分步乘法计数原理
• 2007-北京卷文-05 单-牌照计数