2007-湖北卷文-11 填-线性规划求最值

本题导读

本题考查线性规划。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+3⩾0,\\ x+y⩾0,\\ -2⩽x⩽3,\end{array}$ 则目标函数 $2x+y$ 的最小值为　　.

🔍【思路分析】

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1. 画可行域：$y⩽x+3$、$y⩾-x$、$-2⩽x⩽3$。
2. $x+y⩾0$ 与 $x-y+3⩾0$ 的交点 $(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ 是最左顶点（$x=-2$ 处无公共点）。
3. 顶点值：$2(-\frac{3}{2})+\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$；$(3,-3)$ 给 $3$；$(3,6)$ 给 $12$。

✅【答案】

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-\dfrac{3}{2}

✍【详细解析】

Abstract

约束即 $y⩽x+3$，$y⩾-x$，$-2⩽x⩽3$． $x=-2$ 时 $y⩾2$ 且 $y⩽1$ 无公共点，故可行域最左端为 $x+y=0$ 与 $x-y+3=0$ 的交点：$x=-\frac{3}{2}$，$y=\frac{3}{2}$． 可行域顶点：$\left(-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$、$(3,-3)$、$(3,6)$． $2x+y$ 在三点处的值分别为 $-\frac{3}{2}$、$3$、$12$，最小值为 $-\frac{3}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最值

核心方法：线性规划：画可行域，目标函数在边界顶点取最值

避坑指南：整数解需在可行域内筛选；目标直线平移方向对应最值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划求最值，与第 7 题同主题

结论推广：可行域 + 目标函数顶点比较

方法推广：线性规划三步走：画域、定点、比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2007-天津卷文-02 单-线性规划最值
• 2007-浙江卷文-14 填-线性规划最小值
• 2007-福建卷文-14 填-线性规划取值范围
• 2008-大纲卷I文-13 填-线性规划最值