2007-湖北卷文-14 填-二项分布均值方差

本题导读

本题考查独立重复试验，以及二项分布。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 某男运动员在三分线投球的命中率是 $\frac{1}{2}$，他投球 $10$ 次，恰好投进 $3$ 个球的概率是　　.（用数值作答）

🔍【思路分析】

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1. 独立重复试验：$P=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$。
2. $C_{10}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^7=C_{10}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}$。
3. $C_{10}^3=120$，$P=\frac{120}{1024}=\frac{15}{128}$。

✅【答案】

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\dfrac{15}{128}

✍【详细解析】

Abstract

投球 $10$ 次为 $10$ 次独立重复试验，$p=\frac{1}{2}$． 恰好投进 $3$ 个的概率 $P=C_{10}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3{\left(1-\frac{1}{2}\right)}^7=C_{10}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}=\frac{120}{1024}=\frac{15}{128}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项分布均值方差

核心方法：二项分布 $X\sim B(n,p)$：$E(X)=np$、$D(X)=np(1-p)$

避坑指南：独立重复试验才用二项分布；方差公式别写成 $n{p}^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项分布均值方差，概率统计小题

结论推广：$X\sim B(n,p)$：$E(X)=np$、$D(X)=np(1-p)$

方法推广：识别”独立重复试验”是二项分布的前提

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练(Links)

• 2007-江苏卷-17 解-独立重复试验概率
• 2008-重庆卷文-18 解-独立重复试验概率
• 2012-四川卷文-17 解-独立事件与二项分布
• 2014-湖北卷理-20 解-二项分布