2007-江苏卷-17 解-独立重复试验概率

本题导读

本题考查独立重复试验。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 某气象站天气预报的准确率为 $80\%$，计算（结果保留到小数点后面第 $2$ 位） （1）$5$ 次预报中恰有 $2$ 次准确的概率； （2）$5$ 次预报中至少有 $2$ 次准确的概率； （3）$5$ 次预报中恰有 $2$ 次准确，且其中第 $3$ 次预报准确的概率.

🔍【思路分析】

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1. 设 $X$ 为 5 次预报中准确的次数，则 $X\sim B(5,0.8)$。
2. (1) 直接用二项公式；(2) 用对立事件”至多 1 次准确”；(3) 第 3 次固定准确，其余 4 次中恰有 1 次准确。

✅【答案】

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(1) $\approx 0.05$；(2) $\approx 0.99$；(3) $\approx 0.02$

✍【详细解析】

Abstract

设一次预报准确的概率为 $p=0.8$，不准确的概率为 $1-p=0.2$，并设 $X$ 表示 $5$ 次预报中准确的次数，则 $X$ 服从二项分布． （1）恰有 $2$ 次准确时，从 $5$ 次中选出这 $2$ 次，故 $P(X=2)={\mathrm{C}}_5^2(0.8{)}^2(0.2{)}^3=0.0512\approx \mathrm{0.05.}$ （2）至少有 $2$ 次准确是”准确次数为 $0$ 或 $1$“的对立事件，故 $P(X⩾2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-(0.2{)}^5-{\mathrm{C}}_5^1(0.8)(0.2{)}^4=0.99328\approx \mathrm{0.99.}$ （3）第 $3$ 次必须准确，且其余 $4$ 次中恰有 $1$ 次准确，故 $P={\mathrm{C}}_4^1(0.8{)}^2(0.2{)}^3=0.02048\approx \mathrm{0.02.}$ （易错点：(3) 中”第 3 次准确”是固定位置，不再从 5 次里选 2 次；组合数是 ${\mathrm{C}}_4^1$ 而不是 ${\mathrm{C}}_5^2$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验概率

核心方法：二项分布公式与对立事件

避坑指南：“至少 2 次”用 1−P(0)−P(1)；“第 3 次固定准确且共 2 次准确”组合数是 C(4,1)——固定位置不再参与选取

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”独立重复试验与二项分布”

结论推广：P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}

方法推广：概率应用题先识别模型（二项分布/互斥/独立），再决定用公式还是对立事件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练(Links)

• 2010-四川卷文-17 解-独立事件概率
• 2010-大纲卷I文-19 解-稿件评审概率
• 2010-大纲卷II文-20 解-电路独立事件概率