2007-湖北卷文-19 解-二次函数根的分布

本题导读

本题考查二次函数。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(文)） 设二次函数 $f(x)=x^2+ax+a$，方程 $f(x)-x=0$ 的两根 $x_1$ 和 $x_2$ 满足 $0<x_1<x_2<1$． （1）求实数 $a$ 的取值范围； （2）试比较 $f(0)f(1)-f(0)$ 与 $\frac{1}{16}$ 的大小，并说明理由．

🔍【思路分析】

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（1）令 $g(x)=f(x)-x=x^2+(a-1)x+a$，开口向上，两根在 $(0,1)$ 内：$g(0)=a>0$、$g(1)=2a+1>0$、$\Delta =(a-1{)}^2-4a>0$、$0<\frac{1-a}{2}<1$，解得 $0<a<3-2\sqrt{2}$。 （2）$f(0)=a$，$f(1)=1+2a$，$f(0)f(1)-f(0)=a(1+2a)-a=2a^2$；由 $a<3-2\sqrt{2}$ 放缩 $2a^2<2(3-2\sqrt{2}{)}^2=34-24\sqrt{2}<\frac{1}{16}$。

✅【答案】

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（1）$0<a<3-2\sqrt{2}$；（2）$f(0)f(1)-f(0)<\frac{1}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）令 $g(x)=f(x)-x=x^2+(a-1)x+a$，其图象开口向上，两根 $x_1,x_2\in (0,1)$ 等价于 $\{\begin{array}{l}g(0)>0,\\ g(1)>0,\\ \Delta >0,\\ 0<\frac{1-a}{2}<1,\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a>0,\\ 2a+1>0,\\ (a-1{)}^2-4a>0,\\ -1<a<1.\end{array}$ $\Delta >0$ 即 $a^2-6a+1>0$，解得 $a<3-2\sqrt{2}$ 或 $a>3+2\sqrt{2}$（舍，需 $a<1$）． 故 $0<a<3-2\sqrt{2}$． （2）$f(0)=a$，$f(1)=1+2a$，故 $f(0)f(1)-f(0)=a(1+2a)-a=2a^2$． 由（1）$a<3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1{)}^2$，$a>0$，故 $2a^2<2(3-2\sqrt{2}{)}^2=2(17-12\sqrt{2})=34-24\sqrt{2}.$ 比较 $34-24\sqrt{2}$ 与 $\frac{1}{16}$：$34-24\sqrt{2}<\frac{1}{16}⟺544-384\sqrt{2}<1⟺543<384\sqrt{2}⟺543^2<2\cdot 384^2$， 即 $294849<294912$，成立． 所以 $f(0)f(1)-f(0)=2a^2<\frac{1}{16}$，即 $f(0)f(1)-f(0)<\frac{1}{16}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数根的分布

核心方法：二次函数两根分布：判别式、对称轴、端点值三条件

避坑指南：开口方向与区间端点符号；“有根”与”两根都/至少一个”条件不同

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数根的分布，函数综合题

结论推广：判别式 + 对称轴 + 端点值三条件

方法推广：根的分布按”两根位置”分类列条件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2007-福建卷文-20 解-二次函数与恒成立
• 2007-天津卷文-10 单-奇函数与恒成立
• 2008-安徽卷文-20 解-导数极值恒成立
• 2007-大纲卷I文-20 解-导数极值与恒成立