2007-湖南卷理-05 单-分布函数区间概率计算

本题导读

本题考查标准正态分布的几何对称性以及区间概率的计算。通过将绝对值不等式转化为对称区间，再利用正态分布曲线的对称性与分布函数值进行代数转换求解。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 设随机变量 $\xi$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$. 已知 $\Phi (-1.96)=0.025$，则 $P(|\xi |<1.96)=$ ()

A. 0.025　　　　　B. 0.050　　　　　C. 0.950　　　　　D. 0.975

🔍【思路分析】

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1. 绝对值区间拆分：

• $P(|\xi |<1.96)=P(-1.96<\xi <1.96)$。

2. 利用对称性与互补性转化：

• 标准正态分布曲线关于 $y$ 轴（ $\xi =0$）严格对称。
• 落在对称区间外侧的两端尾部面积相等： $P(\xi \le -1.96)=P(\xi \ge 1.96)=\Phi (-1.96)=0.025$。

3. 计算中心区域面积：

• 整个全域总面积为 1。

• $P(-1.96<\xi <1.96)=1-P(\xi \le -1.96)-P(\xi \ge 1.96)=1-2\times 0.025=0.950$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：解绝对值不等式，将目标区间展开为中心对称的双侧区间： $P(|\xi |<1.96)=P(-1.96<\xi <1.96)$

因为随机变量 $\xi$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，其正态分布概率密度曲线关于 $x=0$ 严格对称。 根据曲线的对称特质， 小于 $-1.96$ 的左尾部面积与大于 $1.96$ 的右尾部面积完全相等： $P(\xi \ge 1.96)=P(\xi \le -1.96)=\Phi (-1.96)=0.025$

利用互补事件的概率和为 1， 中间对称区域的面积等于全域总面积减去左右两侧的两个尾部面积之和： $P(-1.96<\xi <1.96)=1-\left[P(\xi \le -1.96)+P(\xi \ge 1.96)\right]$ $=1-(0.025+0.025)=1-0.050=0.950$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：标准正态分布的双侧对称律 $P(X>x)=P(X<-x)=\Phi (-x)$、对称区间概率公式 $P(-x<X<x)=1-2\Phi (-x)$。
2. 核心方法：数形结合尾部剔除法。
3. 避坑指南：

• 基础送分题，牢记对称区间概率直接套用核心公式 $1-2\Phi (-x)$ 可在一秒钟内降维秒杀， 避免反复倒腾正负号导致粗心算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：标准正态分布的对称性、分布函数与区间概率的计算是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是标准正态分布的对称性、分布函数与区间概率的计算的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用对称图形判定法、互补事件概率法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.05 正态分布

类题演练 (Links)

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• 2008-重庆卷理-05 单-正态分布
• 2010-广东卷理-07 单-正态分布