2008-湖南卷理-04 单-正态分布

本题导读

本题考查正态分布曲线的对称性特征。利用正态分布关于均值 $\mu$ 对称的几何性质，将概率相等转化为自变量关于对称轴对称来求解。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 设随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(2,9)$，若 $P(\xi >c+1)=P(\xi <c-1)$，则 $c=$ ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

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1. 识别正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的数学特征，由 $N(2,9)$ 确定对称轴为直线 $x=2$。
2. 根据正态曲线的对称性，若满足 $P(\xi >x_1)=P(\xi <x_2)$，则 $x_1$ 与 $x_2$ 对应的点关于 $x=2$ 对称，利用中点坐标公式求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为随机变量 $\xi \sim N(2,9)$， 所以正态分布曲线关于直线 $x=2$ 轴对称。

已知 $P(\xi >c+1)=P(\xi <c-1)$， 根据正态曲线的对称性质，点 $c+1$ 与 $c-1$ 必须关于 $x=2$ 保持对称。

由此可得，这两个点的中点坐标即为均值 2： $\frac{(c+1)+(c-1)}{2}=2$ 化简得： $\frac{2c}{2}=2⟹c=2$

正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的图象关于 $x=\mu$ 对称；面积概率的守恒规律。
2. 核心方法：中点公式转化法。将复杂的积分概率等式直接拉平为数轴中点。
3. 避坑指南：容易混淆正态分布中 $\mu$ 与 ${\sigma }^2$ 的位置，误将 9 认作对称轴；计算中点公式时注意多项式符号消去。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 考查概率统计中正态分布核心几何性质的直接应用，属于大纲内的标准核心题型。
2. 结论推广: 若随机变量 $\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，当满足 $P(\xi >f(c))=P(\xi <g(c))$ 时，恒有 $f(c)+g(c)=2\mu$。

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