2010-广东卷理-07 单-正态分布

本题导读

本题考查正态分布曲线的对称性及其对称区间概率计算。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(3,1)$，且 $P(2\le X\le 4)=0.6826$，则 $P(X>4)=$()

A. $0.1588$　　　　B. $0.1587$　　　　C. $0.1586$　　　　D. $0.1585$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定正态分布的对称轴为 $\mu =3$。
2. 利用区间 $[2,4]$ 关于 $\mu =3$ 的对称性，得 $P(X<2)=P(X>4)$。
3. 利用全概率性质 $P(X<2)+P(2\le X\le 4)+P(X>4)=1$ 求得 $P(X>4)$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $X\sim N(3,1)$，所以正态曲线关于直线 $x=3$ 对称。

由于区间 $[2,4]=[3-1,3+1]$ 关于 $x=3$ 对称，由对称性可知： $P(X<2)=P(X>4)$

由概率总和为 $1$ 得： $P(X<2)+P(2\le X\le 4)+P(X>4)=1$

即： $2P(X>4)+0.6826=1⟹2P(X>4)=0.3174⟹P(X>4)=0.1587$

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正态分布的对称性及概率计算。
2. 核心方法：画图结合对称性将单侧尾部概率转化为区间余概率。
3. 避坑指南：注意正态曲线关于 $x=\mu$ 对称，尾部概率 $P(X>\mu +k)=P(X<\mu -k)$，切勿遗漏除以 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自选修2-3正态分布 $3\sigma$ 原则（$P(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma )\approx 0.6826$）。
2. 结论推广: 若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P(X>\mu +k\sigma )=\frac{1-P(\mu -k\sigma \le X\le \mu +k\sigma )}{2}$。

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