2007-湖南卷理-09 单-点到直线距离极值应用

本题导读

本题考查椭圆的准线性质与离心率的取值范围。核心在于将“中垂线过焦点”转化为几何等距离条件，进而通过“圆上存在点在准线上”转化为焦点到准线距离的不等式约束。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 设 $F_1,F_2$ 分别是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，若在其右准线上存在 $P$，使线段 $P{F}_1$ 的中垂线过点 $F_2$，则椭圆离心率的取值范围是()

A. $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$　　　B. $\left(0,\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$　　　C. $\left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$　　　D. $\left[\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 线段中垂线性质转换：线段 $P{F}_1$ 的中垂线过点 $F_2⟺|P{F}_2|=|F_1{F}_2|=2c$。
2. 点 $P$ 存在性转化为距离不等式：

• 点 $P$ 位于右准线 $x=\frac{a^2}{c}$ 上，则点 $P$ 到右焦点 $F_2(c,0)$ 的距离 $|P{F}_2|$ 的最小值为右焦点到右准线的垂直距离。
• 故必须满足临界条件： $|P{F}_2|\ge d(F_2,\text{右准线})$。

3. 解离心率不等式：将距离用 $a,c$ 表达， 建立关于离心率 $e$ 的不等式并求解。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

解：因为线段 $P{F}_1$ 的垂直平分线（中垂线）恰好经过椭圆的右焦点 $F_2$， 根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的几何性质， 可得： $|P{F}_2|=|F_1{F}_2|$ 已知左、右焦点之间的焦距为 $|F_1{F}_2|=2c$， 故： $|P{F}_2|=2c$

已知椭圆的右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}$， 右焦点坐标为 $F_2(c,0)$。 准线上存在满足条件的点 $P$， 意味着以 $F_2$ 为圆心、 $2c$ 为半径的圆， 与右准线 $x=\frac{a^2}{c}$ 必须有公共点（相交或相切）。 由此可得， 圆心 $F_2$ 到右准线的垂直距离必须小于或等于圆的半径 $2c$： $\frac{a^2}{c}-c\le 2c⟹\frac{a^2}{c}\le 3c$

由于 $c>0$， 方程两边同乘以 $c$ 保持不等号方向不变： $a^2\le 3c^2⟹\frac{c^2}{a^2}\ge \frac{1}{3}$

根据椭圆离心率的定义 $e=\frac{c}{a}$， 代入上式有： $e^2\ge \frac{1}{3}⟹e\ge \frac{\sqrt{3}}{3}$

由于在椭圆中， 离心率的天然有界性取值范围为 $e\in (0,1)$， 综合可得， 离心率 $e$ 的取值范围是 $\left[\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线段中垂线等距转化性质、椭圆准线方程 $x=\frac{a^2}{c}$、存在性问题向极值不等式的化归。
2. 核心方法：几何条件不等式化。
3. 避坑指南：

• 本题最容易出现的代数冗余是去设点 $P\left(\frac{a^2}{c},y_0\right)$ 坐标用两点距离公式展开， 这样会增加不必要的平方运算。
• 牢记解析几何中“直线上存在点到定点距离等于 $R$” 的充要条件即为“定点到直线的垂直距离小于或等于 $R$”， 抓住这一临界距离关系可直接一步到位。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的几何性质（准线与离心率）、线段垂直平分线的性质是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是椭圆的几何性质（准线与离心率）、线段垂直平分线的性质的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用几何关系代数化、临界位置不等式法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II文-11 单-双曲线焦点三角形离心率
• 2008-山东卷理-10 单-椭圆
• 2008-江西卷理-07 单-椭圆