2007-湖南卷理-14 填-目标函数最值求解

本题导读

本题考查含绝对值的不等式组所构成的平面区域交集问题及线性规划。第一问通过分析两折线形区域的相对位置， 找出两区域有公共点的临界条件；第二问在可行域内利用平移法分析目标函数的最大值， 从而反推参数 $b$ 的值。

📌【题干】

Question

（2007年湖南卷(理)） 设集合 $A=\left\{(x,y)|y\ge \frac{1}{2}|x-2|\right\}$， $B=\{(x,y)\mid y\le -|x|+b\}$， $A\cap B\ne \varnothing$.

(1) $b$ 的取值范围是________；

(2) 若 $(x,y)\in A\cap B$，且 $x+2y$ 的最大值为 9，则 $b$ 的值是________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：

• 区域 $A$： $y\ge \frac{1}{2}|x-2|$ 是以 $(2,0)$ 为顶点、向上开口的 V 形上方区域。
• 区域 $B$： $y\le -|x|+b$ 是以 $(0,b)$ 为顶点、向下开口的倒 V 形下方区域。
• $A\cap B\ne \varnothing ⟺$ 倒 V 形的顶点或下侧翼与正 V 形的上方区域有交集。
• 临界状态为两折线的侧翼相切或顶点刚好接触。当倒 V 形左侧翼 $y=x+b(x\le 0)$ 与正 V 形左侧翼 $y=-\frac{1}{2}x+1(x\le 2)$ 相交。联立求出临界值， 结合图象可知 $b\ge 1$。

2. 第二问：

• 目标函数 $z=x+2y⟹y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$。

• 目标直线的斜率为 $-\frac{1}{2}$， 这恰好与区域 $A$ 的左侧翼边界 $y=-\frac{1}{2}x+1$ 的斜率完全平行。

• 要让 $x+2y$ 最大， 目标直线应向上平移。在可行域 $A\cap B$ 中， 最优解必定在区域 $B$ 的顶点 $(0,b)$ 处或两折线的交点处取得。

• 由于目标直线斜率与 $A$ 的左边界平行， 向上平移时会首先在倒 V 形的右侧翼 $y=-x+b(x\ge 0)$ 与正 V 形的右侧翼 $y=\frac{1}{2}x-1(x\ge 2)$ 的交点处，或者直接在顶点 $(0,b)$ 处取得。比对可知， 当 $x\ge 0$ 时， 触碰到的最高点为两折线右侧翼的交点。

• 联立 $y=-x+b$ 与 $y=\frac{1}{2}x-1$， 解出交点为 $\left(\frac{2b+2}{3},\frac{b-1}{3}\right)$。代入 $x+2y=9$ 求解 $b$。

✅【答案】

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$[1,+\infty )$ ； $\frac{29}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）在平面直角坐标系中描绘两个集合所对应的几何区域：

• 集合 $A$ 代表的平面区域边界为折线 $y=\frac{1}{2}|x-2|$， 顶点为 $(2,0)$， 其左侧翼方程为 $y=-\frac{1}{2}x+1(x\le 2)$， 右侧翼方程为 $y=\frac{1}{2}x-1(x>2)$。区域为该折线的上方部分。

• 集合 $B$ 代表的平面区域边界为折线 $y=-|x|+b$， 顶点为 $(0,b)$， 其左侧翼方程为 $y=x+b(x\le 0)$， 右侧翼方程为 $y=-x+b(x>0)$。区域为该折线的下方部分。

要满足 $A\cap B\ne \varnothing$， 向上平移的倒 V 形区域 $B$ 必须与正 V 形区域 $A$ 发生接触。 临界相切状态发生在倒 V 形的左侧翼 $y=x+b$ 与正 V 形的左侧翼 $y=-\frac{1}{2}x+1$ 恰好重合或交汇时： $x+b=-\frac{1}{2}x+1⟹\frac{3}{2}x=1-b⟹x=\frac{2(1-b)}{3}$ 因为该交点必须在两折线的左侧部分产生， 满足 $x\le 0$： $\frac{2(1-b)}{3}\le 0⟹1-b\le 0⟹b\ge 1$ 所以， $b$ 的取值范围是 $[1,+\infty )$。

（2）令目标函数 $z=x+2y$， 化为斜截式直线方程： $y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$ 此直线系斜率固定为 $-\frac{1}{2}$， 纵截距为 $\frac{z}{2}$。要使得 $z$ 最大， 直线应当尽可能往右上方平移。

注意到目标直线的斜率 $-\frac{1}{2}$ 与区域 $A$ 的左侧边界直线 $y=-\frac{1}{2}x+1$ 完全平行。 平移动态直线， 当其掠过可行域 $A\cap B$ 的右侧边界交点时， 截距取得最大值。该最高点为区域 $A$ 的右侧翼 $y=\frac{1}{2}x-1(x\ge 2)$ 与区域 $B$ 的右侧翼 $y=-x+b(x\ge 0)$ 的交点 $M$。 联立两右侧翼边界方程组： $\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-1\\ y=-x+b\end{array}⟹\frac{1}{2}x-1=-x+b⟹\frac{3}{2}x=b+1⟹x_M=\frac{2b+2}{3}$ 代入求得纵坐标： $y_M=-\frac{2b+2}{3}+b=\frac{b-2}{3}$

将最大值点 $M\left(\frac{2b+2}{3},\frac{b-2}{3}\right)$ 的坐标代入目标函数 $x+2y=9$ 中： $\frac{2b+2}{3}+2\times \frac{b-2}{3}=9$ $\frac{2b+2+2b-4}{3}=9⟹\frac{4b-2}{3}=9$ $4b-2=27⟹4b=29⟹b=\frac{29}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含绝对值折线区域的无漏拆分、目标函数斜率与边界斜率平行的特例线性规划。
2. 核心方法：数形结合图解法、边界交点联合法。
3. 避坑指南：

• 第二问极易盲目将倒 V 形顶点 $(0,b)$ 误认为是最大值点。必须细致比对目标直线与两边界线的斜率相对大小， 明确由于斜率平行， 导致最优解被卡在两个右侧翼边界的交点处， 从而精准消元。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值不等式与平面区域、线性规划的可行域交集判定是湖南卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是绝对值不等式与平面区域、线性规划的可行域交集判定的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用临界折线相切/相交判定法、边界顶点代入法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-12 填-线性规划求最值
• 2012-湖北卷文-14 填-线性规划最值
• 2014-北京卷文-13 填-线性规划