2007-福建卷文-07 单-单调性解不等式

本题导读

本题考查函数的单调性，以及抽象函数不等式。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 已知 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的减函数，则满足 $f\left(\frac{1}{x}\right)>f(1)$ 的实数 $x$ 的取值范围是 ()

A. $(-\infty ,1)$　　　B. $(1,+\infty )$　　　C. $(-\infty ,0)\cup (0,1)$　　　D. $(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 减函数去 $f$：$\frac{1}{x}<1$。
2. $x<0$ 时 $\frac{1}{x}<0<1$ 恒成立；$x>0$ 时两边乘 $x$ 得 $1<x$。
3. 取并集。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上递减，故 $f\left(\frac{1}{x}\right)>f(1)\iff \frac{1}{x}<1$． 当 $x<0$ 时，$\frac{1}{x}<0<1$ 恒成立； 当 $x>0$ 时，$\frac{1}{x}<1\iff 1<x$． 故 $x\in (-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$，选 D． （易错点：忽略 $x<0$ 的情形漏选 B；去不等号前先确认单调方向——减函数不等号反向。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：单调性解不等式

核心方法：减函数去外层 $f$：$f(A)>f(B)\iff A<B$，再分母分类

避坑指南：含 $\frac{1}{x}$ 的不等式必须讨论 $x$ 的符号；减函数不等号方向要反向

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抽象单调性与分式不等式结合，考查函数单调性的定义应用

结论推广：推广：$f$ 单调 + $f(g(x))>f(a)$ 均可去外壳化为一元不等式

方法推广：“去 $f$“三步：确认单调方向、反向不等号、分类讨论定义域

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练(Links)

• 2007-江苏卷-08 单-奇函数定参解不等式
• 2013-四川卷理-10 单-单调性
• 2008-北京卷文-14 填-偶函数单调性条件判定
• 2014-大纲卷文-12 单-抽象函数周期