2007-福建卷文-20 解-二次函数与恒成立

本题导读

本题考查二次函数最值。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(文)） 设函数 $f(x)=t{x}^2+2t^{2}x+t-1$（$x\in \mathbf{R}$，$t>0$）. （1）求 $f(x)$ 的最小值 $h(t)$. （2）若 $h(t)<-2t+m$ 对 $t\in (0,2)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$t>0$ 二次开口向上，配方得最小值。
2. （2）分离参数：$m>h(t)+2t=-t^3+3t-1$ 对 $t\in (0,2)$ 恒成立。
3. 令 $\phi (t)=-t^3+3t-1$，求导定最大值 $\phi (1)=1$。
4. 严格不等式且 $t=1$ 取到最大，故需 $m>1$。

✅【答案】

点击查看答案

（1）$h(t)=-t^3+t-1$（$t>0$）；（2）$m\in (1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(x)=t\left(x^2+2tx\right)+t-1=t{\left(x+t\right)}^2-t^3+t-1$． 因 $t>0$，当 $x=-t$ 时 $f(x)$ 取最小值 $h(t)=-t^3+t-1$． （2）$h(t)<-2t+m$ 对 $t\in (0,2)$ 恒成立 $\iff m>h(t)+2t=-t^3+3t-1$ 对 $t\in (0,2)$ 恒成立． 设 $\phi (t)=-t^3+3t-1$，${\phi }^{\prime }(t)=-3t^2+3=3(1-t)(1+t)$． $t\in (0,1)$ 时 ${\phi }^{\prime }>0$ 递增，$t\in (1,2)$ 时 ${\phi }^{\prime }<0$ 递减，故 $\underset{0<t<2}{\max }\phi (t)=\phi (1)=1$． 由于 $t=1$ 在区间内取到最大值且原不等式为严格不等式，须 $m>1$；反之 $m>1$ 时对一切 $t\in (0,2)$ 恒成立． 故 $m$ 的取值范围是 $(1,+\infty )$． （易错点：若区间开套用 $⩾$ 会误得 $m⩾1$；因 $\phi (1)=1$ 恰可取到，$m=1$ 时 $t=1$ 处不成立，必须 $m>1$．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数与恒成立

核心方法：（1）配方；（2）分离参数 $m>\phi (t)$，求 $\phi$ 最大值

避坑指南：严格不等式 + 最值点在区间内 $\Rightarrow$ 参数必须严格大于最值；区间端点开闭要逐一核对

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参二次函数最值 + 恒成立求参，函数综合题

结论推广：推广：$h(t)<m$ 型恒成立即 $m>\max h(t)$；严格不等式对应开区间

方法推广：分离参数是恒成立问题首选；求 $\phi (t)$ 最值用导数或基本不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则
• 03.03 柯西不等式

类题演练(Links)

• 2007-大纲卷I文-20 解-导数极值与恒成立
• 2007-辽宁卷文-22 解-三次函数主元恒成立
• 2007-天津卷文-21 解-三次函数切线极值恒成立
• 2008-天津卷文-21 解-四次函数极值与恒成立