2007-福建卷理-07 单-分式不等式

本题导读

本题考查利用函数的单调性解不等式。核心在于通过 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为减函数的性质，将函数值的大小关系转化为自变量之间相反的大小关系，再结合分母非零限制求解关于 $x$ 的不等式区间。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 已知 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的减函数，则满足 $f\left(\left|\frac{1}{x}\right|\right)<f(1)$ 的实数 $x$ 的取值范围是()

A. $(-1,1)$　B. $(0,1)$　C. $(-1,0)\cup (0,1)$　D. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 利用单调性脱去函数符号：因为 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的减函数，所以自变量大小与函数值大小相反。 由 $f\left(\left|\frac{1}{x}\right|\right)<f(1)⟹\left|\frac{1}{x}\right|>1$。
2. 求解含绝对值与分式的不等式：

• 首先考虑定义域限制：分母 $x\ne 0$。
• 变形不等式： $\frac{1}{|x|}>1⟹|x|<1$。

3. 综合写出区间：结合 $|x|<1$ 且 $x\ne 0$ 得到最终范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：因为函数 $f(x)$ 在实数集 $\mathbf{R}$ 上是一个严格的单调递减函数， 根据减函数的定义，若自变量的函数值小，则其对应的自变量必然大。 由此将原函数不等式 $f\left(\left|\frac{1}{x}\right|\right)<f(1)$ 脱去外层函数符号，转化为自变量的不等式： $\left|\frac{1}{x}\right|>1$

根据绝对值的除法性质，上式可化为： $\frac{1}{|x|}>1$ 由于分式必须有意义，隐含自变量分母不能为零的红线条件： $x\ne 0⟹|x|>0$

在 $|x|>0$ 的大前提下，两边同时乘以正数 $|x|$（或取倒数改变不等号方向）： $1>|x|⟹|x|<1$

解此绝对值不等式可得： $-1<x<1$ 结合定义域隐含约束 $x\ne 0$， 需在区间中挖去原点 0， 最终合法的自变量区域为： $-1<x<0\text{或}0<x<1$

用标准的集合并集形式表示为： $(-1,0)\cup (0,1)$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：减函数性质（ $f(x_1)<f(x_2)⟺x_1>x_2$）、分式定义域非零底线。
2. 核心方法：单调性转化法。
3. 避坑指南：

• 此题最经典的陷阱就是忽略 $x\ne 0$ 的隐含定义域约束，从而错选 A。在数学中，凡是遇到含有分式、对数、根式的方程或不等式，动笔第一步必须把定义域死死卡住，最后求出解集时一定要进行交叉核校。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的单调性、绝对值不等式是福建卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是函数的单调性、绝对值不等式的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用单调性同向/反向转化法、倒数不等式运算法则，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-03 单-分式绝对值不等式
• 2009-大纲卷I理-03 单-绝对值不等式
• 2009-安徽卷理-02 单-绝对值不等式