2009-大纲卷I文-03 单-分式绝对值不等式

本题导读

考查分式绝对值不等式。两边非负可平方，注意定义域 $x\ne 1$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 不等式 $\left|\frac{x+1}{x-1}\right|<1$ 的解集为 ()

A. $\{x\mid 0<x<1\}\cup \{x\mid x>1\}$　　　B. $\{x\mid 0<x<1\}$　　　C. $\{x\mid -1<x<0\}$　　　D. $\{x\mid x<0\}$

🔍【思路分析】

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1. 定义域 $x\ne 1$；两边均非负，等价于 $(x+1{)}^2<(x-1{)}^2$。
2. 展开得 $4x<0$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由定义域知 $x\ne 1$，且不等式两边均为非负数，故原不等式等价于 $(x+1{)}^2<(x-1{)}^2,$ 展开得 $x^2+2x+1<x^2-2x+1$，即 $4x<0$，解得 $x<0$。 故解集为 $\{x\mid x<0\}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式与绝对值不等式

核心方法：两边平方去绝对值 + 定义域优先

避坑指南：两边均为非负数才能平方；定义域 $x\ne 1$ 虽不影响最终解集，但列式时不可省略。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值不等式经平方化归是一元二次不等式的常见入口。

结论推广：$|A|<|B|⟺A^2<B^2$（$A,B$ 非负时恒成立）。

方法推广：分式不等式第一步永远先写定义域，再作同解变形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2012-重庆卷文-02 单-分式不等式的解集
• 2013-江西卷文-06 单-分式不等式链