2007-福建卷理-12 单-矩阵方阵行列特征

本题导读

本题考查古典概型的概率计算，属于选择题的压轴题。题目表述为“至少有两个数位于同行或同列”，正面枚举情况繁琐。采用“正难则反”的对立思想，先求解其对立事件“选出的三个数任意两个均不同行且不同列”的组合方案数，简化求解。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 如图，三行三列的方阵中有 9 个数 $a_{ij}(i=1,2,3;j=1,2,3)$，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是() $\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)$

A. $\frac{3}{7}$　　　　　　B. $\frac{4}{7}$　　　　　　C. $\frac{1}{14}$　　　　　　D. $\frac{13}{14}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算样本空间总方法数 $N$：从 9 个不重复的数中任意取出 3 个数，总组合数为 ${\text{C}}_9^3$。
2. 界定对立事件特征：

• 目标事件 $A$：“至少有两个数位于同行或同列”。
• 对立事件 $\overline{A}$：“选出的 3 个数，任意两个都既不同行也不同列”。

3. 计算对立事件的方案数 $m$：

• 第一步：在第一行任意挑一列取 1 个数，有 3 种选法；
• 第二步：在第二行挑剩下的两列中选 1 个数，有 2 种选法；
• 第三步：在第三行最后剩下的一列取 1 个数，有 1 种选法。
• 故对立组合方案数为 $3\times 2\times 1=6$ 种。（本质为阶乘 ${\text{A}}_3^3$）。

4. 求出最终概率： $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{m}{N}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：从 3 行 3 列方阵的 9 个数中任意取出 3 个数，所有的基本事件总数（分母样本空间）为： $N={\text{C}}_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84\text{ 种}$

设目标事件 $A$ 为：“取出的三个数中，至少有两个数位于同行或同列”。 正面分类讨论（包含同行的各种组合、同列的各种组合、又同行又同列的交集）极其冗长。我们考虑其对立事件 $\overline{A}$，其文字含义为：“选出的这 3 个数，两两之间既不在同一行，也不在同一列”。

为了选出符合对立事件 $\overline{A}$ 要求的 3 个数，我们可以分步进行抽取：

• 第一步：在方阵的第一行中，可以任意挑选一列处的元素，共有 ${\text{C}}_3^1=3$ 种选法；
• 第二步：由于不能同行且不能同列，第二行的元素不能与第一步选中的元素同列。故只能在剩下的 2 列中任意挑一个元素，共有 ${\text{C}}_2^1=2$ 种选法；
• 第三步：到了第三行，为了避开前两步已经占用的 2 个不同列，只剩下唯一的 1 列位置可选，共有 ${\text{C}}_1^1=1$ 种选法。

根据分步计数乘法原理，满足对立事件 $\overline{A}$ 的组合方案数为： $m=3\times 2\times 1=6\text{ 种}$

根据古典概型公式，对立事件的概率为： $P(\overline{A})=\frac{m}{N}=\frac{6}{84}=\frac{1}{14}$

利用对立事件减法公式，最终所求事件 $A$ 的概率为： $P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{1}{14}=\frac{13}{14}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：“正难则反”在古典概型中的应用、方阵内不同行不同列元素排列组合模型（排列数 ${\text{A}}_n^n$ 原理）。
2. 核心方法：对立事件转化法。
3. 避坑指南：

• 属于设计非常精妙的压轴题。凡是看到“至少”字眼，应形成无条件转换为对立事件想一想的本能思维习惯。
• 建立对立事件模型时，注意在行、列各自独立排他时，每一行的选法顺次递减（ $3\to 2\to 1$），不要误把对立数算成其他数字。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：古典概型与组合数、对立事件的概率是福建卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是古典概型与组合数、对立事件的概率的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用正难则反法（对立事件法），注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-08 单-古典概型至少
• 2013-安徽卷文-05 单-古典概型录用
• 2014-新课标I卷理-05 单-古典概型