2007-福建卷理-14 填-离心率计算

本题导读

本题考查几何图形与圆锥曲线的交融。正方形的顶点既是椭圆的焦点又是曲线上通过的点，通过建立正方形边长与椭圆基本几何量 $a,c$ 的代数关系，求出离心率 $e$。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 已知正方形 $ABCD$，则以 $A、B$ 为焦点，且过 $C、D$ 两点的椭圆的离心率为________。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 引入正方形几何量：设正方形的边长为 $1$。
2. 提取焦点几何量 $c$：以 $A,B$ 为焦点，则焦距 $2c=AB=1⟹c=\frac{1}{2}$。
3. 运用椭圆第一定义求 $a$：

• 椭圆过 $C,D$ 点，以点 $C$ 为研究对象，其到两焦点的距离之和等于 $2a$。
• 即 $2a=|CA|+|CB|$。
• 依据正方形性质： $|CB|=1$ （正方形的边）； $|CA|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ （正方形的对角线）。
• 由此可得 $2a=\sqrt{2}+1⟹a=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$。

4. 计算离心率： $e=\frac{c}{a}$ 比例化简。

✅【答案】

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$\sqrt{2}-1$

✍【详细解析】

Abstract

解：设已知的正方形 $ABCD$ 的边长为 $m$ ($m>0$)。 根据题意，椭圆以正方形的顶点 $A,B$ 为左、右（或右、左）焦点， 所以椭圆的焦距 $2c$ 为： $2c=AB=m⟹c=\frac{m}{2}$

因为椭圆过正方形的另外两个顶点 $C$ 和 $D$，我们根据椭圆的第一几何定义，曲线上任意一点到两个焦点的距离之和恒等于定值实轴长 $2a$。 以点 $C$ 为研究切入点，其对应的焦半径距离之和为： $2a=|CA|+|CB|$

根据正方形的几何性质：

• 线段 $CB$ 为正方形的边长， 故 $|CB|=m$；
• 线段 $CA$ 为正方形的对角线， 根据勾股定理， 长度为 $|CA|=\sqrt{m^2+m^2}=\sqrt{2}m$。

代入椭圆定义式中： $2a=\sqrt{2}m+m=(\sqrt{2}+1)m⟹a=\frac{\sqrt{2}+1}{2}m$

依据圆锥曲线离心率的定义公式 $e=\frac{c}{a}$，将含有参数 $m$ 的齐次分式代入消元化简： $e=\frac{\frac{m}{2}}{\frac{\sqrt{2}+1}{2}m}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ 分子分母同时乘以共轭无理数 $\sqrt{2}-1$ 进行分母有理化： $e=\frac{1\times (\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1$

所以，该椭圆的离心率为 $\sqrt{2}-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆定义模型（ $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$）、正方形对角线与其边的代数比例关系。
2. 核心方法：几何设元消元法。
3. 避坑指南：

• 属于设计新颖的送分题。计算到 $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ 时，必须要养成无条件进行分母有理化的规范习惯，填空题写 $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ 或 $\frac{\sqrt{2}-1}{1}$ 皆可，但化成最简无理数形式 $\sqrt{2}-1$ 最安全保险。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的定义与标准方程、正方形的几何性质是福建卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是椭圆的定义与标准方程、正方形的几何性质的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用定义设元代换法、齐次消元法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I文-15 填-椭圆定义离心率
• 2013-江苏卷-12 填-椭圆方程与性质
• 2014-江西卷理-16 填-离心率