2007-福建卷理-19 解-分类讨论思想

本题导读

本题考查导数在经济生活实际优化问题中的应用。第一问根据“总利润 = 每件利润 $\times$ 销售量”直接建立三次函数关系式；第二问利用导数求出含有参数 $a$ 的驻点，通过判断驻点与自变量定义域区间的相对位置关系进行分类讨论，从而确定最大值对应的售价及利润最大值。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 $a$ 元 ($3\le a\le 5$) 的管理费，预计当每件产品的售价为 $x$ 元 ($9\le x\le 11$) 时，一年的销售量为 $(12-x{)}^2$ 万件.

(1) 求分公司一年的利润 $L$ (万元) 与每件产品的售价 $x$ 的函数关系式；

(2) 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 $L$ 最大？并求出 $L$ 的最大值 $Q(a)$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 每件产品的总成本为 $3+a$ 元。
• 每件产品的利润为售价减去总成本，即 $x-(3+a)=x-a-3$ 元。
• 一年的总利润 $L=\text{每件利润}\times \text{销售量}=(x-a-3)(12-x{)}^2$。

2. 第二问：

• 对 $L(x)$ 求导，得出导函数 $L^{\prime }(x)=3(12-x)(6+\frac{2}{3}a-x)$。

• 令 $L^{\prime }(x)=0$，得到令导数为零的驻点 $x_0=6+\frac{2}{3}a$。

• 由 $3\le a\le 5$ 可知 $8\le x_0\le \frac{28}{3}$。

• 对比自变量区间 $[9,11]$，需对驻点 $x_0$ 进行分类讨论：

• 当 $x_0\le 9$ 时（即 $3\le a\le 4.5$），导数在 $[9,11]$ 上恒小于等于 0，函数单调递减，最大值在左端点取得；

• 当 $9<x_0\le \frac{28}{3}$ 时（即 $4.5<a\le 5$），函数在 $[9,x_0]$ 上递增，在 $[x_0,11]$ 上递减，最大值在驻点取得。

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分公司一年利润最大值的函数解析式为：$Q(a)=\{\begin{array}{ll}54-9a,& 3\le a\le 4.5\\ \frac{4}{27}(9-a{)}^3,& 4.5<a\le 5\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）由题意可知，每件产品的总成本由生产成本与管理费共同构成，即每件总成本为 $(3+a)$ 元。 当售价为 $x$ 元时，每件产品的纯利润为： $x-(3+a)=x-a-3\text{ 元}$

一年的总销售量为 $(12-x{)}^2$ 万件，则分公司一年的总利润 $L$（万元）与售价 $x$ 的函数关系式为： $L=(x-a-3)(12-x{)}^2$ 其自变量 $x$ 的定义域约束为： $9\le x\le 11$

（2）利用导数工具对解析式进行求导以寻找最值点。 对 $L$ 关于 $x$ 求导（运用乘积求导法则）： $L^{\prime }=(x-a-3{)}^{\prime }\cdot (12-x{)}^2+(x-a-3)\cdot {\left[(12-x{)}^2\right]}^{\prime }$ $L^{\prime }=1\cdot (12-x{)}^2+(x-a-3)\cdot 2(12-x)\cdot (-1)$ 提取公因式 $(12-x)$ 进行因式分解化简： $L^{\prime }=(12-x)\left[(12-x)-2(x-a-3)\right]$ $L^{\prime }=(12-x)(12-x-2x+2a+6)$ $L^{\prime }=(12-x)(18-3x+2a)=3(12-x)\left(6+\frac{2}{3}a-x\right)$

令 $L^{\prime }=0$，由于 $9\le x\le 11⟹12-x>0$，所以得到唯一的驻点解为： $x_0=6+\frac{2}{3}a$

因为已知管理费参数满足 $3\le a\le 5$，我们估算驻点 $x_0$ 的取值范围：

• 当 $a=3$ 时， $x_0=6+2=8$；
• 当 $a=5$ 时， $x_0=6+\frac{10}{3}=\frac{28}{3}\approx 9.33$。 即 $8\le x_0\le \frac{28}{3}$。

下面将驻点 $x_0$ 与售价的实际取值区间 $[9,11]$ 的位置关系展开分类讨论：

• 情况一：当 $8\le 6+\frac{2}{3}a\le 9$ 即 $3\le a\le 4.5$ 时 此时驻点 $x_0\le 9$。对于任意售价 $x\in [9,11]$，恒满足 $x\ge 9\ge 6+\frac{2}{3}a$， 所以： $6+\frac{2}{3}a-x\le 0⟹L^{\prime }\le 0$ 这表明函数 $L(x)$ 在闭区间 $[9,11]$ 上是一个严格的单调递减函数。 因此，一年的利润 $L$ 在左端点 $x=9$ 处截取到全域最大值： $Q(a)=L(9)=(9-a-3)(12-9{)}^2=(6-a)\times 3^2=54-9a$

• 情况二：当 $9<6+\frac{2}{3}a\le \frac{28}{3}$ 即 $4.5<a\le 5$ 时 此时驻点 $x_0\in \left(9,\frac{28}{3}\right]$，恰好完整地落在了自变量定义域 $[9,11]$ 的内部。 分析导函数的正负号可知变化趋势为：

• 当 $x\in (9,x_0)$ 时， $x<6+\frac{2}{3}a⟹L^{\prime }>0$， 函数 $L(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (x_0,11)$ 时， $x>6+\frac{2}{3}a⟹L^{\prime }<0$， 函数 $L(x)$ 单调递减。 因此，一年的利润 $L$ 在驻点 $x=6+\frac{2}{3}a$ 处截取到全域的绝对最大值： $Q(a)=L\left(6+\frac{2}{3}a\right)=\left[\left(6+\frac{2}{3}a\right)-a-3\right]\cdot {\left[12-\left(6+\frac{2}{3}a\right)\right]}^2$ $Q(a)=\left(3-\frac{1}{3}a\right)\cdot {\left(6-\frac{2}{3}a\right)}^2=\frac{1}{3}(9-a)\cdot {\left[\frac{2}{3}(9-a)\right]}^2$ $Q(a)=\frac{1}{3}(9-a)\cdot \frac{4}{9}(9-a{)}^2=\frac{4}{27}(9-a{)}^3$

综上所述，分公司一年利润最大值的函数解析式为： $Q(a)=\{\begin{array}{ll}54-9a,& 3\le a\le 4.5\\ \frac{4}{27}(9-a{)}^3,& 4.5<a\le 5\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：应用题多项式利润函数模型的构建、利用复合积导数公式求驻点、驻点含参时的全域单调性讨论。
2. 核心方法：分类讨论法。
3. 避坑指南：

• 本题是典型的因驻点动态游离而引发的分类讨论大题。
• 核心避坑命门在于卡死分类讨论的分界点： $a=4.5$。必须由 $6+\frac{2}{3}a=9$（即驻点恰好重合于定义域左端点）推导出分流边界。若直接忽略参数 $a$ 的大小影响而盲目地认为最值只能在驻点取得，会导致直接丢失后半部分的一半步骤分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查函数应用题（利润模型）、导数在最大值问题中的应用，是福建卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（导数工具法、驻点区间定位法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：函数应用题（利润模型）、导数在最大值问题中的应用相互关联，解答中综合运用了导数工具法、驻点区间定位法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷文-20 解-递推数列符号与恒成立
• 2008-北京卷理-18 解-导数
• 2008-四川卷理-20 解-等比数列