2007-辽宁卷文-17 解-频率分布与二项分布

本题导读

本题考查频率分布表。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 $1000$ 支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：

分组	$[500,900)$	$[900,1100)$	$[1100,1300)$	$[1300,1500)$	$[1500,1700)$	$[1700,1900)$	$[1900,+\infty )$
频数	$48$	$121$	$208$	$223$	$193$	$165$	$42$
频率

（1）将各组的频率填入表中； （2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足 $1500$ 小时的频率； （3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 $3$ 支，若将上述频率作为概率，试求至少有 $2$ 支灯管的寿命不足 $1500$ 小时的概率．

🔍【思路分析】

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1. （1）频率 = 频数 / 1000，逐组相除。
2. （2）“不足 1500”即前四组，频数求和后除以 1000。
3. （3）每支灯管寿命不足 1500 小时的概率取（2）的频率；3 支独立，$X\sim B(3,0.6)$，求 $P(X⩾2)$。

✅【答案】

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(1)从左到右依次为 $0.048$，$0.121$，$0.208$，$0.223$，$0.193$，$0.165$，$0.042$；(2)$0.6$；(3)$0.648$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 各组频率等于相应频数除以总数 $1000$，从左到右依次为 $0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042,$ 其和为 $1$，与总频率一致． （2） 使用寿命不足 $1500$ 小时即落入前四组，其频率为 $\frac{48+121+208+223}{1000}=\frac{600}{1000}=\mathrm{0.6.}$ （3） 设 $X$ 为 $3$ 支灯管中寿命不足 $1500$ 小时的支数，每支不足 $1500$ 小时的概率取 $(2)$ 的频率 $0.6$，各灯管相互独立，故 $X\sim B(3,0.6)$． $P(X⩾2)={\mathrm{C}}_3^2(0.6{)}^2(0.4)+(0.6{)}^3=0.432+0.216=\mathrm{0.648.}$ 所以至少有 $2$ 支灯管的寿命不足 $1500$ 小时的概率为 $0.648$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率分布与二项分布

核心方法：频率=频数/容量，X~B(3,0.6)

避坑指南：第(3)问先声明”以频率作概率、各灯管独立”，再写 X~B(3,0.6)；P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)，两项都算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”用样本估计总体”与”独立重复试验”

结论推广：频率分布表的检验标准：各组频率之和为 1

方法推广：统计与概率综合题的标准链路：样本频率 → 概率 → 二项分布 → 指定事件概率

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练(Links)

• 2010-安徽卷文-18 解-频率分布表与直方图
• 2008-四川卷文-18 解-独立事件与二项分布
• 2012-四川卷文-17 解-独立事件与二项分布
• 2011-新课标卷文-19 解-频率分布与利润估计