2007-辽宁卷文-21 解-抛物线外接圆与切线

本题导读

本题考查抛物线的方程。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 已知正三角形 $OAB$ 的三个顶点都在抛物线 $y^2=2x$ 上，其中 $O$ 为坐标原点，设圆 $C$ 是 $△OAB$ 的外接圆（点 $C$ 为圆心）． （1）求圆 $C$ 的方程； （2）设圆 $M$ 的方程为 ${\left(x-4-7\cos \theta \right)}^2+{\left(y-7\sin \theta \right)}^2=1$，过圆 $M$ 上任意一点 $P$ 分别作圆 $C$ 的两条切线 $PE$、$PF$，切点为 $E$、$F$，求 $\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{CF}$ 的最大值和最小值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）设 $A\left(\frac{u^2}{2},u\right)$，$B\left(\frac{v^2}{2},v\right)$，由 $OA=OB$ 与 $OA=AB$ 解出 $A$、$B$。
2. 正三角形外心即重心，得圆心 $C$ 与半径。
3. （2）圆 $M$ 的圆心 $Q$ 到 $C$ 的距离恒为 $7$，故 $6⩽CP⩽8$。
4. 切线性质：$\cos \phi =\frac{CE}{CP}=\frac{4}{CP}$，数量积化为 $\frac{512}{C{P}^2}-16$，按 $CP$ 的范围求最值。

✅【答案】

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(1)$(x-4{)}^2+y^2=16$（即 $x^2+y^2-8x=0$）；(2)最大值为 $-\frac{16}{9}$，最小值为 $-8$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设 $A\left(\frac{u^2}{2},u\right)$，$B\left(\frac{v^2}{2},v\right)$（抛物线 $y^2=2x$ 上点的参数表示）．由 $OA=OB$： $\frac{u^4}{4}+u^2=\frac{v^4}{4}+v^2⟹(u^2-v^2)\left(u^2+v^2+4\right)=0,$ 第二个因式恒正，故 $v^2=u^2$；又 $A\ne B$，得 $v=-u$．再由 $OA=AB=2|u|$： $\frac{u^4}{4}+u^2=4u^2⟹u^2=12,$ 可取 $A=(6,2\sqrt{3})$，$B=(6,-2\sqrt{3})$．正三角形的外心与重心重合，故 $C=\frac{O+A+B}{3}=(4,0),$ 且 $CO=4$（即外接圆半径 $R=\frac{|AB|}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4$）．所以圆 $C$ 的方程为 $(x-4{)}^2+y^2=16,\text{即}{x}^2+y^2-8x=0.$ （2） 圆 $M$ 的圆心为 $Q(4+7\cos \theta ,7\sin \theta )$，则 $CQ=7$，圆 $M$ 的半径为 $1$，故对圆 $M$ 上任意一点 $P$， $6⩽CP⩽8.$ 圆 $C$ 的半径为 $4$，$P$ 在圆 $C$ 外，设 $\angle ECP=\angle FCP=\phi$，则在直角三角形 $CEP$ 中（$CE\perp PE$）， $\cos \phi =\frac{CE}{CP}=\frac{4}{CP}.$ $\overrightarrow{CE}$ 与 $\overrightarrow{CF}$ 的夹角为 $2\phi$，故 $\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{CF}=|\overrightarrow{CE}||\overrightarrow{CF}|\cos 2\phi =16\cos 2\phi =16\left(2{\cos }^2\phi -1\right)=\frac{512}{C{P}^2}-16,$ 该式随 $CP$ 的增大而减小．于是 $CP=6$ 时取得最大值，$CP=8$ 时取得最小值： $\max =\frac{512}{36}-16=-\frac{16}{9},\min =\frac{512}{64}-16=-8.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线外接圆与切线

核心方法：参数化设点 + 圆心距定 CP 范围 + 切线角转化数量积

避坑指南：圆 M 圆心 Q 满足 CQ=7 恒成立，CP∈[6,8] 是全题枢纽；切线性质 cos φ=CE/CP=4/CP；数量积随 CP 增大而减小，最大在 CP=6、最小在 CP=8

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解析几何中”圆与抛物线的综合”经典模型（与 2010 大纲Ⅰ文 11 切线数量积最值同构）

结论推广：过定圆外一点作两切线，切点向量的数量积可写成 16(2cos²φ-1)=512/CP²-16

方法推广：动圆问题先抓”圆心的轨迹与到定点的距离”，把变化的点固定在区间上，再用切线几何性质把数量积化为单变量函数

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练(Links)

• 2010-大纲卷I文-11 单-切线数量积最值
• 2008-陕西卷文-21 解-抛物线切线与向量垂直
• 2012-辽宁卷文-22 解-圆的切线与相似
• 2010-福建卷文-11 单-椭圆向量数量积最值