2010-福建卷文-11 单-椭圆向量数量积最值

本题导读

考查椭圆与数量积。$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{FP}=\frac{x^2}{4}+x+3=\frac{(x+2{)}^2}{4}+2$，在 $x=2$ 取最大 $6$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 若点 $O$ 和点 $F$ 分别为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的中心和左焦点，点 $P$ 为椭圆上的任意一点，则 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{FP}$ 的最大值为()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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1. $F(-1,0)$，设 $P(x,y)$，$y^2=3-\frac{3x^2}{4}$，$x\in [-2,2]$。
2. $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{FP}=x(x+1)+y^2=\frac{x^2}{4}+x+3$。
3. 配方：$\frac{x^2}{4}+x+3=\frac{(x+2{)}^2}{4}+2$，在 $[-2,2]$ 上递增。
4. $x=2$ 时最大：$\frac{16}{4}+2=6$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 中 $a^2=4$，$b^2=3$，$c=1$，故左焦点 $F(-1,0)$. 设 $P(x,y)$ 为椭圆上任意一点，则 $y^2=3-\frac{3x^2}{4}$，且 $x\in [-2,2]$. $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{FP}=(x,y)\cdot (x+1,y)=x^2+x+y^2=\frac{x^2}{4}+x+3.$ 配方得 $\frac{x^2}{4}+x+3=\frac{(x+2{)}^2}{4}+2,$ 该函数在 $[-2,2]$ 上单调递增，故 $x=2$ 时取得最大值 $\frac{(2+2{)}^2}{4}+2=6.$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆上的向量数量积最值

核心方法：设 $P(x,y)$，数量积化为 $x$ 的一元二次函数，配方求最值

避坑指南：$F$ 是左焦点 $(-1,0)$，$\overrightarrow{FP}=(x+1,y)$ 别写成 $(x-1,y)$；配方后 $(x+2{)}^2$ 在 $[-2,2]$ 上单调递增，最大值在右端点 $x=2$ 而非顶点 $x=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆与向量数量积综合的标准流程：坐标化 $\to$ 消元（用椭圆方程） $\to$ 二次函数配方。

结论推广：$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{FP}=x^2+x+y^2$，代入 $y^2=3-\frac{3x^2}{4}$ 后只剩 $x$ 的二次式。

方法推广：定义域 $x\in [-2,2]$ 是求最值的隐形约束，对称轴 $x=-2$ 恰在端点，函数单调。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长
• 2009-安徽卷文-18 解-椭圆与抛物线轨迹
• 2011-安徽卷文-17 解-两直线相交与椭圆轨迹
• 2010-安徽卷文-17 解-椭圆方程与角平分线