2007-辽宁卷理-18 解-点到平面距离

本题导读

本题考查直三棱柱中的垂直证明、二面角的计算及点到平面距离的求解。第一问利用直三棱柱的侧棱垂直于底面，结合底面等腰直角三角形中线垂直性质完成线线垂直的判定；第二问和第三问既可以通过三垂线定理确定二面角的平面角，利用几何三角形求长度和等体积法求距离，也可以直接建立空间直角坐标系，利用法向量等向量代数工具统一解决。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $\angle ACB=90^{\circ },AC=BC=a$，$D、E$ 分别为棱 $AB、BC$ 的中点， $M$ 为棱 $A{A}_1$ 上的点，二面角 $M-DE-A$ 为 $30^{\circ }$.

(1) 证明： $A_1{B}_1\perp C_{1}D$；

(2) 求 $MA$ 的长，并求点 $C$ 到平面 $MDE$ 的距离.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（垂直证明）：

• 依据直三棱柱的结构，侧棱（或上下底面的映射）具有平移不变性。证明 $A_1{B}_1\perp C_{1}D$ 等价于证明底面上的 $AB\perp CD$。
• 在底面 $△ABC$ 中， $AC=BC=a$，说明其为等腰直角三角形。 $D$ 是斜边 $AB$ 的中点，根据等腰三角形“三线合一”的几何性质，中线 $CD$ 必然垂直于底边 $AB$。再由侧棱线面垂直的性质进行传导即可。

2. 第二问（二面角与点面距离）：

• 建系法（推荐）：由于 $\angle ACB=90^{\circ }$ 且侧棱垂直于底面，以 $C$ 为坐标原点，分别以 $CA,CB,C{C}_1$ 的射线方向为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。

• 求 $MA$ 长：设 $M(a,0,h)$，写出平面 $MDE$ 的法向量，利用底面 $ABC$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_0=(0,0,1)$，根据两法向量夹角的余弦值等于二面角 $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 建立方程求解 $h$（即 $MA$ 长）。

• 求点到平面的距离：求出点 $C$ 到平面 $MDE$ 的未知法向量 $\mathbf{n}$，直接套用点面距离公式 $d=\frac{|\overrightarrow{CE}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$ 求解；或者利用三棱锥 $C-MDE$ 与 $M-CDE$ 的等体积法 $V_{C-MDE}=V_{M-CDE}$ 求解。

✅【答案】

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建立空间直角坐标系，取𝐶(0,0,0),𝐴(𝑎,0,0),𝐵(0,𝑎,0),

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中， 上下底面是完全全等的三角形。 在底面 $△ABC$ 中， $\because AC=BC=a$， 且点 $D$ 是斜边 $AB$ 的中点， $\therefore$ 根据等腰三角形底边中线与高线三线合一的性质， 必有： $AB\perp CD$ $\because$ 侧棱 $C{C}_1\perp \text{底面 }ABC$， 且 $AB\subset \text{底面 }ABC$， $\therefore C{C}_1\perp AB$。 又 $\because CD\cap C{C}_1=C$， 且 $CD,C{C}_1\subset \text{平面 }{C}_{1}CD{D}_1$， $\therefore AB\perp \text{平面 }{C}_{1}CD{D}_1$。 $\because C_{1}D\subset \text{平面 }{C}_{1}CD{D}_1$， $\therefore AB\perp C_{1}D$。 $\because$ 在直三棱柱中， 上底面的棱 $A_1{B}_1$ 严格平行于下底面的棱 $AB$，即 $A_1{B}_1//AB$， $\therefore A_1{B}_1\perp C_{1}D$。

(2) 解： 由于 $\angle ACB=90^{\circ }$， 且侧棱 $C{C}_1\perp \text{底面 }ABC$， 以点 $C$ 为坐标原点， 射线 $CA,CB,C{C}_1$ 的方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的正方向， 建立空间直角坐标系 $C-xyz$。 由题意可写出以下空间关键各点的坐标： $C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0)$ 由于 $D、E$ 分别为 $AB、BC$ 的中点， 依据中点坐标公式： $D\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right),E\left(0,\frac{a}{2},0\right)$ 设棱 $A{A}_1$ 上的点 $M$ 的纵向高度为 $h$ ($h>0$)， 则其坐标可记为： $M(a,0,h)$ 由此可写出平面 $MDE$ 内的两个向量： $\overrightarrow{ED}=\left(\frac{a}{2}-0,\frac{a}{2}-\frac{a}{2},0-0\right)=\left(\frac{a}{2},0,0\right)$ $\overrightarrow{EM}=\left(a-0,0-\frac{a}{2},h-0\right)=\left(a,-\frac{a}{2},h\right)$

设平面 $MDE$ 的一个未知法向量为 $\mathbf{n}=(x,y,z)$， 则需满足： $\{\begin{array}{l}\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{ED}=\frac{a}{2}x=0\\ \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{EM}=ax-\frac{a}{2}y+hz=0\end{array}$ 由第一句可得 $x=0$。 将其代入第二句中精简得： $-\frac{a}{2}y+hz=0⟹\frac{a}{2}y=hz$。 令 $z=a$， 则解得 $y=2h$。 所以平面 $MDE$ 的一个空间法向量可取为： $\mathbf{n}=(0,2h,a)$

因为底面 $ABC$ 的一个标准法向量为垂直于 $xy$ 平面的单位向量 ${\mathbf{n}}_0=(0,0,1)$。 题目已知二面角 $M-DE-A$ 的大小为 $30^{\circ }$， 根据两法向量夹角公式可列出方程： $\cos 30^{\circ }=\frac{|\mathbf{n}\cdot {\mathbf{n}}_0|}{|\mathbf{n}|\cdot |{\mathbf{n}}_0|}⟹\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{|0\times 0+2h\times 0+a\times 1|}{\sqrt{0^2+(2h{)}^2+a^2}\times \sqrt{0^2+0^2+1^2}}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{4h^2+a^2}}$ 方程两边同时平方： $\frac{3}{4}=\frac{a^2}{4h^2+a^2}⟹3(4h^2+a^2)=4a^2⟹12h^2+3a^2=4a^2$ $12h^2=a^2⟹h^2=\frac{a^2}{12}⟹h=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}a$ 所以， $MA$ 的长为 $\frac{\sqrt{3}}{6}a$。

求点 $C$ 到平面 $MDE$ 的距离 $d$： 将 $h=\frac{\sqrt{3}}{6}a$ 代回前面求出的平面 $MDE$ 的法向量 $\mathbf{n}$ 中： $\mathbf{n}=\left(0,2\times \frac{\sqrt{3}}{6}a,a\right)=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{3}a,a\right)$ 为了进一步化简计算， 我们可以将法向量两边同除以单参数 $a$， 取其方向方向相同的简易法向量 ${\mathbf{n}}^{\prime }=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{3},1\right)$。 其模长为： $|{\mathbf{n}}^{\prime }|=\sqrt{0^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2+1^2}=\sqrt{\frac{1}{3}+1}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

选取平面内的一点 $E\left(0,\frac{a}{2},0\right)$， 构成从源点 $C(0,0,0)$ 指向平面内的连接向量： $\overrightarrow{CE}=\left(0,\frac{a}{2},0\right)$ 根据空间点到平面距离的射影向量标准公式， 可直接算得距离 $d$ 为： $d=\frac{|\overrightarrow{CE}\cdot {\mathbf{n}}^{\prime }|}{|{\mathbf{n}}^{\prime }|}=\frac{\left|0\times 0+\frac{a}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{3}+0\times 1\right|}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}a\times \frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{12}a=\frac{1}{4}a$

所以， 点 $C$ 到平面 $MDE$ 的距离为 $\frac{1}{4}a$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间线面垂直性质的逐步推演、二面角向法向量夹角方程的代数转化、点到平面距离的向量投影公式。
2. 避坑指南：

• 第二问在利用两法向量夹角公式计算二面角时，一定要严格加绝对值符号。因为法向量的方向有两个， 直接计算可能会因为方向相反产生钝角其余弦负值， 必须通过几何图形的显式锐角特征， 让余弦值强制等于 $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
• 求距离时， 提取出的简化向量 ${\mathbf{n}}^{\prime }=(0,\frac{\sqrt{3}}{3},1)$ 能极大精简点积的计算量， 避免带着参数 $a$ 在根号里反复做四则运算导致笔误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查直三棱柱的性质、线面垂直的判定与性质，是辽宁卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（传统几何三垂线定理法、空间直角坐标系向量法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：直三棱柱的性质、线面垂直的判定与性质相互关联，解答中综合运用了传统几何三垂线定理法、空间直角坐标系向量法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-19 解-直三棱柱二面角
• 2008-北京卷文-16 解-三棱锥垂直与二面角
• 2008-北京卷理-16 解-二面角