2007-重庆卷文-14 填-线性规划目标最值

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数最值。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 已知 $\{\begin{array}{l}2x+3y⩽6,\\ x-y⩾0,\\ y⩾0,\end{array}$ 则 $z=3x-y$ 的最大值为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 画可行域：由 $2x+3y⩽6$，$x⩾y$，$y⩾0$ 围成。
2. 顶点：$(0,0)$；$y=0$ 与 $2x+3y=6$ 交于 $(3,0)$；$x=y$ 与 $2x+3y=6$ 交于 $\left(\frac{6}{5},\frac{6}{5}\right)$。
3. $z$ 在顶点处取值：$0$，$9$，$\frac{12}{5}$，最大为 $9$。

✅【答案】

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$9$

✍【详细解析】

Abstract

作出不等式组表示的可行域，其顶点为 $(0,0)$，$(3,0)$，$\left(\frac{6}{5},\frac{6}{5}\right)$． 其中 $(3,0)$ 是直线 $y=0$ 与 $2x+3y=6$ 的交点，$\left(\frac{6}{5},\frac{6}{5}\right)$ 是直线 $x=y$ 与 $2x+3y=6$ 的交点． 线性目标函数 $z=3x-y$ 在顶点处取值：$z(0,0)=0$，$z(3,0)=9$，$z\left(\frac{6}{5},\frac{6}{5}\right)=\frac{18-6}{5}=\frac{12}{5}$． 故 $z$ 的最大值为 $9$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划目标最值

核心方法：顶点 $(0,0)$、$(3,0)$、$\left(\frac{6}{5},\frac{6}{5}\right)$，$z=3x-y$ 在 $(3,0)$ 取 9

避坑指南：目标函数 $z=3x-y$ 中 $y$ 的系数为负，最值点与 $3x+y$ 型未必相同；逐一验顶点最稳妥

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划最值为重庆卷传统小题，2010 文第 7 题、2007 理第 12 题同型；新课标后淡出，2018 全国卷仍有保留

结论推广：画可行域找顶点，目标函数逐顶点取值比较

方法推广：目标函数含负系数时最值点位置易错，截距法画等值线平移最直观

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2010-重庆卷文-07 单-线性规划最值
• 2007-重庆卷理-12 填-线性目标函数最值
• 2018-全国卷I文-14 填-线性规划