2007-重庆卷理-10 单-空间平面向量线性展开

本题导读

本题考查平面向量的模、数量积运算及其代数恒等变形。题目给出了三个连续相连向量的模的和与积，以及它们之间两两垂直的数量积关系，要求解一个复合向量的数量积，需要通过将目标式利用向量乘法分配律展开，代入已知条件消元。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(理)） 如图，在四边形 $ABCD$ 中， $|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BD}|+|\overrightarrow{DC}|=4$， $|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{BD}|+|\overrightarrow{BD}|\cdot |\overrightarrow{DC}|=4$， $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{DC}=0$，则 $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})\cdot \overrightarrow{AC}$ 的值为()

A. 2　　　　　　　B. $2\sqrt{2}$　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. $4\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 字母参数化简代数式：

• 为了让书写清晰简练、规避繁琐的字母， 设三个向量的模长正数分别为： $x=|\overrightarrow{AB}|>0,y=|\overrightarrow{BD}|>0,z=|\overrightarrow{DC}|>0$。
• 将已知的两个数值方程转化为代数方程组： $\{\begin{array}{l}x+y+z=4\text{(1)}\\ xy+yz=4⟹y(x+z)=4\text{(2)}\end{array}$

2. 联立代数方程组求解模长：

• 将①式变形为 $x+z=4-y$， 整体代入②式中。
• 得到关于 $y$ 的一元二次方程 $y(4-y)=4⟹y^2-4y+4=0$。
• 解得 $y=2$， 从而代回求得 $x+z=2$。

3. 展开目标数量积式：

• 目标式为 $I=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})\cdot \overrightarrow{AC}$。

• 根据向量的三角形加法法则， 将其中的 $\overrightarrow{AC}$ 顺次拆解为沿已知骨架垂直路径行进的向量： $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$。

• 将拆解后的式子代回目标式， 利用向量乘法分配律完全展开。代入已知垂直关系（点积为 0）和平方关系（点积等于模的平方）， 化简求出最终常数值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：为了使整个推导过程清晰、严密、极简化， 设三个关联骨架向量的模长分别为正数 $x,y,z$： $x=|\overrightarrow{AB}|,y=|\overrightarrow{BD}|,z=|\overrightarrow{DC}|$ 根据题目给定的两个模长代数关系， 建立方程组： $\{\begin{array}{l}x+y+z=4\text{(1)}\\ xy+yz=4\text{(2)}\end{array}$

由①式移项可得， 两个端边模长的和为： $x+z=4-y\text{(3)}$ 将②式提取公因式 $y$， 并将③式整体代入其中消元： $y(x+z)=4⟹y(4-y)=4$ 展开一元二次方程： $4y-y^2=4⟹y^2-4y+4=0$ 利用完全平方公式进行因式分解： $(y-2{)}^2=0⟹y=2$ 将 $y=2$ 代回③式中， 得到两端边模长之和为： $x+z=4-2=2\text{(4)}$

下面对需要求解的目标数量积式进行代数重构。目标式为： $I=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})\cdot \overrightarrow{AC}$ 根据向量首尾相接的三角形/多边形加法法则， 路径 $\overrightarrow{AC}$ 可以顺次沿折线分解拆表示为： $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$

将此路径拆解式代回目标数量积 $I$ 中： $I=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC})$ 利用向量数量积的乘法分配律， 将两个括号里的多项式完全交叉展开： $I={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\cdot \overrightarrow{BD}+{\overrightarrow{DC}}^2$ $I={\overrightarrow{AB}}^2+{\overrightarrow{DC}}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{DC}$

题目中给出了明确的刚性两两垂直垂直条件： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ 且 $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{DC}=0$。 观察图像几何特征， 直线 $AB\perp BD$ 且 $BD\perp DC$， 说明在同一平面内， 直线 $AB\parallel DC$。 既然向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{DC}$ 方向完全一致且平行， 它们夹角为 0°。 因此， 它们的数量积点积直接等于模长的乘积： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{DC}|\cdot \cos 0^{\circ }=x\cdot z\cdot 1=xz$

同时， 依据向量自点积性质， 向量的平方等于其模长的平方： ${\overrightarrow{AB}}^2=x^2,{\overrightarrow{DC}}^2=z^2$。 将这些代数转换全额代回展开后的 $I$ 式中（消去含 $\overrightarrow{BD}$ 的垂直零项）： $I=x^2+z^2+2xz+0+0=x^2+2xz+z^2$ 利用完全平方公式进行代数归拢： $I=(x+z{)}^2$

直接将前面由方程组解出的核心恒等块④式 $x+z=2$ 代入其中： $I=2^2=4$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量多边形路径大拆分法则（ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$）、向量乘法分配律、平行同向向量点积等于模相乘。
2. 核心方法：变量参数化方程消元法、核心恒等块（ $(x+z{)}^2$）整体代入法。
3. 避坑指南：

• 本题属于高分压轴选择题，最核心的破局命门在于把 $\overrightarrow{AC}$ 拆开。如果不拆开， 试图去求四边形各个内角或强行用余弦定理去算线段， 会因为条件不足陷入死胡同。 记住解析几何和向量大题中，“沿骨架路径拆分向量”是百试百灵的无敌大招。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量的模与向量的代数四则运算、向量的数量积（点积）与垂直是重庆卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是向量的模与向量的代数四则运算、向量的数量积（点积）与垂直的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用数量积乘法分配律展开法、代数方程消元法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2010-安徽卷文-03 单-向量垂直判定
• 2009-四川卷文-08 单-双曲线数量积