2008-上海卷文-03 填-复数方程

本题导读

考查复数方程。移项提公因式 $z(1+i)=2i$，分子有理化得 $z=1+i$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 若复数 $z$ 满足 $z=i(2-z)$（$i$ 是虚数单位），则 $z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开：$z=2i-iz$，移项 $z+iz=2i$。
2. 提取 $z(1+i)=2i$。
3. $z=\frac{2i}{1+i}=\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2i-2i^2}{2}=1+i$。

✅【答案】

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$1+i$

✍【详细解析】

Abstract

由 $z=i(2-z)$，得 $z=2i-iz$，即 $z(1+i)=2i$. 所以 $z=\frac{2i}{1+i}=\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2i+2}{2}=1+i.$ 故答案为 $1+i$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数方程

核心方法：$z(1+i)=2i$，$z=\frac{2i}{1+i}=1+i$

避坑指南：把 $z$ 当未知数移项提公因式，化为一元一次；除以 $1+i$ 时分子分母同乘共轭 $1-i$，$i^2=-1$ 收尾。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$z$ 满足线性复数方程是复数题基本型，2009 天津文第 1 题、2010 上海文第 4 题同型。

结论推广：$\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2}$；除法”乘共轭”一步到位。

方法推广：验算：$i(2-(1+i))=i(1-i)=i-i^2=1+i=z$ ✓——代入回原方程是复数题的免费保险。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-01 单-复数除法
• 2010-上海卷文-04 填-共轭复数运算
• 2010-新课标卷文-03 单-复数模
• 2010-江苏卷-02 填-复数的模