2008-上海卷文-18 解-两函数纵坐标差最值

本题导读

考查纵坐标差。$\cos (2t+\frac{\pi }{6})=\sin (\frac{\pi }{3}-2t)$，和差化积得 $\sqrt{3}|\sin (2t-\frac{\pi }{6})|$；代入与取最值。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin 2x$，$g(x)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$，直线 $x=t$（$t\in \mathbf{R}$）与函数 $f(x)$、$g(x)$ 的图象分别交于 $M$、$N$ 两点.

(1)当 $t=\frac{\pi }{4}$ 时，求 $|MN|$ 的值；

(2)求 $|MN|$ 在 $t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时的最大值.

🔍【思路分析】

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1. $M(t,\sin 2t)$、$N(t,\cos (2t+\frac{\pi }{6}))$，$|MN|=|\sin 2t-\cos (2t+\frac{\pi }{6})|$。
2. 诱导：$\cos (2t+\frac{\pi }{6})=\sin (\frac{\pi }{3}-2t)$。
3. 和差化积：$\sin 2t-\sin (\frac{\pi }{3}-2t)=2\cos \frac{\pi }{6}\sin (2t-\frac{\pi }{6})=\sqrt{3}\sin (2t-\frac{\pi }{6})$。
4. (1)代入 $t=\frac{\pi }{4}$：$\sqrt{3}|\sin \frac{\pi }{3}|=\frac{3}{2}$。
5. (2)$2t-\frac{\pi }{6}\in [-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}]$ 包含 $\frac{\pi }{2}$，$|\sin |$ 最大 $1$，$|MN{|}_{\max }=\sqrt{3}$。

✅【答案】

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(1)$\frac{3}{2}$；(2)最大值为 $\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

$M$、$N$ 的横坐标均为 $t$，所以 $|MN|=\left|\sin 2t-\cos \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)\right|.$ (1)当 $t=\frac{\pi }{4}$ 时， $|MN|=\left|\sin \frac{\pi }{2}-\cos \frac{2\pi }{3}\right|=\left|1-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|=\frac{3}{2}.$ (2)由诱导公式 $\cos \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}-2t\right)$，于是 $|MN|=\left|\sin 2t-\sin \left(\frac{\pi }{3}-2t\right)\right|=\left|2\cos \frac{\pi }{6}\sin \left(2t-\frac{\pi }{6}\right)\right|=\sqrt{3}\left|\sin \left(2t-\frac{\pi }{6}\right)\right|.$ 当 $t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$2t-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$，该区间包含 $\frac{\pi }{2}$，故 $\left|\sin \left(2t-\frac{\pi }{6}\right)\right|$ 的最大值为 $1$（此时 $2t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$，$t=\frac{\pi }{3}$）. 所以 $|MN|$ 的最大值为 $\sqrt{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两图象纵坐标差的最值

核心方法：$|MN|=\sqrt{3}\left|\sin \left(2t-\frac{\pi }{6}\right)\right|$，最大 $\sqrt{3}$

避坑指南：竖直线段长 = 两函数值差；诱导统一为正弦后和差化积；最值看相位区间是否覆盖 $\frac{\pi }{2}$（绝对值意义下）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“动直线截两图象”是上海卷三角特色题，2009 北京文第 15 题、2010 北京文第 15 题同型。

结论推广：$\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$；$\cos \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}-\theta \right)$。

方法推广：和差化积前先把两个函数化成同名（都用 $\sin$）；区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$ 包含 $\frac{\pi }{2}$ 一步定最大值 $1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-15 解-二倍角最值
• 2010-北京卷文-15 解-二倍角化简与最值
• 2009-陕西卷文-17 解-三角解析式与最值
• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值