2008-上海卷理-12 单-排列组合

本题导读

本题考查组合数公式的代数结构与恒等变形，侧重考查对组合数基本定义的理解与公式推导本领。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 组合数 $C_n^r$（$n>r\ge 1,n,r\in \mathbf{Z}$）恒等于 ()

A. $\frac{r+1}{n+1}{C}_{n-1}^{r-1}$　　　　　　　　　　　B. $(n+1)(r+1)C_{n-1}^{r-1}$

C. $nr{C}_{n-1}^{r-1}$　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{n}{r}{C}_{n-1}^{r-1}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一（公式法）：将各选项中的组合数按照阶乘定义式 $C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 展开，通过约分进行恒等比对。
2. 方法二（特值法）：选取一组符合条件的特殊整数（如 $n=3,r=2$）代入各选项验证，排除错误选项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据组合数公式的阶乘形式展开： $C_{n-1}^{r-1}=\frac{(n-1)!}{(r-1)![(n-1)-(r-1)]!}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}$ 等式两边同乘 $\frac{n}{r}$ 得： $\frac{n}{r}{C}_{n-1}^{r-1}=\frac{n}{r}\cdot \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}=\frac{n\cdot (n-1)!}{r\cdot (r-1)!\cdot (n-r)!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}=C_n^r$ 故恒等式 $C_n^r=\frac{n}{r}{C}_{n-1}^{r-1}$ 成立。

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合数的基本性质、阶乘形式的代数化简。
2. 核心方法：公式变形中的“分子分母单项游离法”（即提取首项变项数）。
3. 避坑指南：在做代数变形时，注意 $(r-1)!$ 乘以 $r$ 变为 $r!$，切勿在阶乘递推合并时出现系数疏漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高级中学数学教材中关于组合数性质的基本推导例题，是组合恒等式变形的基础模型。
2. 结论推广: 组合数恒等式通常可写为 $r{C}_n^r=n{C}_{n-1}^{r-1}$。该公式在概率论与数理统计中求解二项分布的数学期望时起到了核心的消项简化作用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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