2008-上海卷理-13 单-线面位置

本题导读

本题将立体几何中线面位置关系的判定与命题逻辑中的充要条件相结合。重点考查线面垂直定义中“任意”与“无数”在逻辑维度上的本质区别。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 给定空间中的直线 $l$ 及平面 $\alpha$，条件“直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 内无数条直线都垂直”是“直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 垂直”的 ()

A. 充要条件　　　　　　　　　　　　　B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件　　　　　　　　　　D. 既非充分又非必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性分析：思考平面 $\alpha$ 内的“无数条直线”若是彼此平行的直线，直线 $l$ 是否一定会垂直于整个平面。
2. 必要性分析：根据线面垂直的性质定理，若线面已然垂直，分析其与面内任意一条直线（以及包含的无数条直线）的垂直关系。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

• 充分性不成立：若平面 $\alpha$ 内的这无数条直线是相互平行的直线，则直线 $l$ 只需要垂直于这组平行线的方向即可，此时直线 $l$ 可以斜交于平面 $\alpha$，甚至可以平行于平面 $\alpha$，不能推出 $l\perp \alpha$；
• 必要性成立：若直线 $l\perp \alpha$，由线面垂直的定义可知，直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的任意一条直线，因此必然垂直于平面 $\alpha$ 内的无数条直线。

综上所述，“直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 内无数条直线都垂直”是“直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 垂直”的必要非充分条件。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的定义及充要条件。
2. 核心方法：利用空间几何的反例模型（平行线组）推翻不正确的全称命题。
3. 避坑指南：极易将面内的“无数条直线”主观臆断为“任意两条相交直线”而误判充分性成立，必须牢记线面垂直的判定定理要求必须是两条相交直线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题由教材立体几何中“线面垂直定义”之后的思考题改编而来，旨在厘清逻辑量词在几何命题中的严谨表达。
2. 结论推广: 直线 $l\perp \alpha$ 的充要条件是直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的两条相交直线。若改为垂直于平面内无数条同向平行线，直线与平面的夹角 $\theta$ 可以在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 内任意取值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

C

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-04 单-线面位置
• 2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角
• 2009-四川卷文-06 单-六棱锥线面关系