2008-上海卷理-15 单-几何证明

本题导读

本题是一道定义新颖、构思精妙的创新压轴选择题。通过定义二维平面上的某种偏序关系（“优于”），将集合条件转化为图象的轮廓边界问题，重点考查数形结合思想与严谨的逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 如图，在平面直角坐标系中，$\Omega$ 是一个与 $x$ 轴的正半轴、$y$ 轴的正半轴分别相切于点 $C$、$D$ 的定圆所围成区域（含边界），$A$、$B$、$C$、$D$ 是该圆的四等分点.若点 $P(x,y)$、点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ 满足 $x\le x^{\prime }$ 且 $y\ge y^{\prime }$，则称 $P$ 优于 $P^{\prime }$.如果 $\Omega$ 中的点 $Q$ 满足：不存在 $\Omega$ 中的其它点优于 $Q$，那么所有这样的点 $Q$ 组成的集合是劣弧 ()

A. $\text{overparen}AB$　　　　　　　B. $\text{overparen}BC$　　　　　　　C. $\text{overparen}CD$　　　　　　　D. $\text{overparen}DA$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 准确翻译新定义：“$P$ 优于 $P^{\prime }$” 的几何实质是点 $P$ 落在点 $P^{\prime }$ 的左上方区域（包括正左、正上边界，且两点不重合）。
2. 分析目标条件：“不存在区域内其它点优于 $Q$”，即在区域 $\Omega$ 中，没有任何一个其它的点能落在 $Q$ 的左上方。
3. 结合圆的几何分布，寻找在整个圆域中满足“向左或向上看均没有任何圆内点挡住”的边界弧段。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

根据新定义可知，点 $P$ 优于 $P^{\prime }$，意味着 $P$ 在 $P^{\prime }$ 的左上方（或正左方、正上方）。 题目要求在 $\Omega$ 中不存在其它点优于 $Q$，也就是说，如果在 $\Omega$ 中存在某个点 $P$ 位于 $Q$ 的左上方，则该点 $Q$ 就不符合条件。 由此可知，符合要求的点 $Q$ 必须是区域 $\Omega$ 在左侧和上侧的最外层边界（即向左或向上不能再延伸出圆域内的点）。 观察直角坐标系中的圆：

• 圆与 $x$ 轴正半轴切于底端点 $C$，与 $y$ 轴正半轴切于左端点 $D$。
• 按照圆的四等分点分布，点 $D$ 为最左侧点，点 $A$ 为最顶端点。
• 对于圆域内或圆周上的任意一点，如果它不在左上方的边界弧 $\text{overparen}DA$ 上，我们总能通过向左或向上移动在圆内找到比它更靠左上方的点（即存在点优于它）。
• 反之，对于劣弧 $\text{overparen}DA$ 上的任意一点 $Q$，在其左上方区域除了其自身外，已经没有任何圆域 $\Omega$ 的点存在。

因此，所有满足条件的点 $Q$ 组成的集合正是劣弧 $\text{overparen}DA$。

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义偏序关系、不等式组的平面区域化、圆的轮廓边界分析。
2. 核心方法：数形结合空间转化法、反证剔除法。
3. 避坑指南：最易错的地方在于将“优于”的两个不等式方向看反，或者未能将其转化为“左上方”这一明确的几何方位，导致在四个弧段中盲目猜测。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题引入了现代数学（运筹学、经济学）中著名的“帕累托最优”（Pareto Efficiency）或“非劣解”概念，即在一组解中找不到比它在所有维度上都更优的解。
2. 结论推广: 若将凸区域边界上的点按偏序关系 $x\le x^{\prime }$ 且 $y\ge y^{\prime }$ 筛选非劣解，其结果必然是该区域中满足外法向量在第二象限（即 $\cos \alpha \le 0,\sin \alpha \ge 0$）的边界曲线段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

D

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-08 单-正三角形新定义区域
• 2009-北京卷文-14 填-新定义孤立元
• 2009-北京卷文-20 解-新定义数列存在性