2008-上海卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查解三角形在平面规划问题中的实际应用。核心在于利用平行线特征进行角度转化，并通过余弦定理建立关于半径的方程来求解。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 $120^{\circ }$ 的扇形 $AOB$.小区的两个出入口设置在点 $A$ 及点 $C$ 处，且小区里有一条平行于 $BO$ 的小路 $CD$.已知某人从 $C$ 沿 $CD$ 走到 $D$ 用了 10 分钟，从 $D$ 沿 $DA$ 走到 $A$ 用了 6 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米，求该扇形的半径 $OA$ 的长.（精确到 1 米）

🔍【思路分析】

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1. 根据步行速度与时间，计算出线段 $CD$ 和 $AD$ 的实际长度。
2. 利用 $CD\parallel BO$ 的平行性质，将已知的圆心角 $\angle AOB=120^{\circ }$ 转化为 $△OCD$ 或相关三角形内部的角度关系。
3. 连接 $OC$，在 $△OCD$ 中，利用余弦定理或建立关于半径 $R$ 的代数方程化简求解。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

由题意可知，此人步行的速度为 $50$ 米/分钟， 所以 $CD=10\times 50=500$ 米，$AD=6\times 50=300$ 米。 设扇形 $AOB$ 的半径 $OA=OC=R$（米），由于点 $D$ 在半径 $OA$ 上，则 $OD=R-300$。 因为 $CD\parallel BO$， 所以 $\angle ODC=\angle AOB=120^{\circ }$。 在 $△OCD$ 中，已知 $CD=500$，$OD=R-300$，$OC=R$，$\angle ODC=120^{\circ }$。 由余弦定理得： $O{C}^2=O{D}^2+C{D}^2-2OD\cdot CD\cdot \cos \angle ODC$ 代入数据变形为： $R^2=(R-300{)}^2+500^2-2(R-300)\times 500\times \cos 120^{\circ }$ 展开并化简（注意 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$）： $R^2=R^2-600R+90000+250000+500(R-300)$ $R^2=R^2-600R+340000+500R-150000$ 移项合并同类项得： $100R=190000⟹R=1900$

答：该扇形的半径 $OA$ 的长为 1900 米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的应用、平行线的同位角关系、实际行程问题向几何特征的提炼。
2. 核心方法：构建关于未知半径 $R$ 的一元二次方程，利用消项简化计算。
3. 避坑指南：

• 极易将 $D$ 点当成弧上的点，看清题图可知 $D$ 点位于半径 $OA$ 上，故 $OD=R-300$；
• 在使用余弦定理处理钝角三角形时，注意 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 的负号与公式中的负号“负负得正”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于经典的平面解三角形应用题，常作为高考解答题的第一道或第二道大题，考查数理结合与方程思想。
2. 结论推广: 设扇形半径为 $R$，内有一条平行于单边且长为 $a$ 的线段，截出的分段长为 $b$，若夹角为 $\alpha$，则半径 $R$ 满足方程：$R^2=(R-b{)}^2+a^2-2a(R-b)\cos \alpha$。当 $\alpha$ 为特殊角时，该二次方程的二次项 $R^2$ 必然可以对消，从而退化为一元一次方程，解具有唯一确定性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2009-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2010-天津卷文-17 解-正弦定理与三角求值