2008-北京卷文-05 单-受限反函数

本题导读

考查反函数。反解得 $x=1-\sqrt{y-1}$（由 $x<1$ 取负根），值域 $(1,+\infty )$ 为定义域，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 函数 $f(x)=(x-1{)}^2+1$（$x<1$）的反函数为()

A. $f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-1}$（$x>1$）　　　　　　　　B. $f^{-1}(x)=1-\sqrt{x-1}$（$x>1$）

C. $f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-1}$（$x⩾1$）　　　　　　　　D. $f^{-1}(x)=1-\sqrt{x-1}$（$x⩾1$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=(x-1{)}^2+1$ 得 $(x-1{)}^2=y-1$。
2. 因 $x<1$，$x-1<0$，开方取负根：$x=1-\sqrt{y-1}$。
3. 原函数值域 $y>1$（$x<1$ 时 $(x-1{)}^2>0$），即反函数定义域 $x>1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=(x-1{)}^2+1$（$x<1$），得 $(x-1{)}^2=y-1$. 因为 $x<1$，所以 $x-1<0$，开方取负根：$x-1=-\sqrt{y-1}$，即 $x=1-\sqrt{y-1}$. 又 $x<1$ 时 $(x-1{)}^2>0$，故 $y>1$，反函数的定义域为 $(1,+\infty )$. 所以 $f^{-1}(x)=1-\sqrt{x-1}$（$x>1$）. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：受限定义域的反函数

核心方法：$x=1-\sqrt{y-1}$（$x<1$ 取负根），$f^{-1}(x)=1-\sqrt{x-1}$（$x>1$）

避坑指南：原函数限定 $x<1$，开方时 $x-1<0$ 必须取负根；反函数定义域是原函数值域：$x<1$ 时 $(x-1{)}^2>0$，$y>1$（不含等号）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：受限反函数比普通反函数多两处陷阱：根号正负与端点开闭，2009 四川文第 2 题、2011 大纲卷文第 2 题同型。

结论推广：$f^{-1}$ 的定义域 $=f$ 的值域；$(x-1{)}^2=y-1$ 开方由 $x<1$ 定符号。

方法推广：反解三步不变，但每步都带着定义域走；最后用”原函数过 $(0,2)\Rightarrow$ 反函数过 $(2,0)$“快速验证选项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-四川卷文-02 单-反函数
• 2011-大纲卷文-02 单-反函数
• 2013-大纲卷文-06 单-反函数