2008-北京卷文-08 单-正方体动点图象

本题导读

考查正方体对称性与图象识别。$MN$ 是 $P$ 到对角面距离的 $2$ 倍（对称面平分垂线段），随 $x$ 从 $0$ 到 $a\sqrt{3}$ 先线性减小到 $0$ 再线性增大，V 形折线对应 B。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 如图，动点 $P$ 在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的对角线 $B{D}_1$ 上. 过点 $P$ 作垂直于平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 的直线，与正方体表面相交于 $M$、$N$. 设 $BP=x$，$MN=y$，则函数 $y=f(x)$ 的图象大致是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 是正方体的对称面，且 $B{D}_1$ 在该平面内，$P$ 到平面的垂线被平面平分，$MN=2d$（$d$ 为 $P$ 到平面距离）。
2. 设棱长 $a$，以 $A$ 为原点建系：$B(a,0,0)$、$D_1(0,a,a)$，对角面为平面 $y=x$。
3. $P=(a(1-t),at,at)$，$x=BP=a\sqrt{3}t$，$d=\frac{a|2t-1|}{\sqrt{2}}$。
4. $y=2d=2\sqrt{2}\left|\frac{x}{\sqrt{3}}-\frac{a}{2}\right|$：分段线性 V 形，$x=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ 处为 $0$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设正方体棱长为 $a$，以 $A$ 为原点、$AB$、$AD$、$A{A}_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，则 $B(a,0,0)$，$D_1(0,a,a)$，对角面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 即平面 $y=x$. 因为 $B{D}_1$ 在对角面内，且正方体关于对角面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 对称，过 $P$ 垂直于该平面的垂线被平面平分，所以 $MN=2d(d\text{为}P\text{到平面的距离}).$ $P$ 在 $B{D}_1$ 上：$P=(a(1-t),at,at)$，$t\in [0,1]$，$BP=a\sqrt{3}t$，即 $t=\frac{x}{a\sqrt{3}}$. $P$ 到平面 $y=x$ 的距离 $d=\frac{|at-a(1-t)|}{\sqrt{2}}=\frac{a|2t-1|}{\sqrt{2}}.$ 所以 $y=2d=\sqrt{2}a\left|2t-1\right|=2\sqrt{2}\left|\frac{x}{\sqrt{3}}-\frac{a}{2}\right|,x\in [0,a\sqrt{3}].$ 这是关于 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ 对称的分段线性函数（V 形折线）：$x=0$ 时 $y=\sqrt{2}a$，$x=\frac{\sqrt{3}}{2}a$ 时 $y=0$，$x=a\sqrt{3}$ 时 $y=\sqrt{2}a$. 对照选项，只有 B 是线性 V 形图象. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体对称面与动点垂线段

核心方法：$MN=2d$，$y=2\sqrt{2}\left|\frac{x}{\sqrt{3}}-\frac{a}{2}\right|$：线性 V 形，选 B

避坑指南：$B{D}_1$ 在对角面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 内，$P$ 到平面的垂线被对称面平分，$MN=2d$；$d$ 是 $x$ 的一次函数（绝对值），图象为折线 V 形而非曲线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“立体几何 + 函数图象”是北京卷特色交叉题，2009 新课标Ⅰ文第 9 题、2009 山东文第 6 题同型。

结论推广：点 $(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $x-y=0$ 的距离 $=\frac{|x_0-y_0|}{\sqrt{2}}$；对称面平分垂线段。

方法推广：先建系写出 $y=f(x)$ 的解析式再认图，切勿凭感觉选”钟形”；折线与曲线的区别就在绝对值函数未平滑。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-09 单-正方体动点判定
• 2009-山东卷文-06 单-函数图象识别
• 2010-湖南卷文-08 单-函数图象识别
• 2009-北京卷文-12 填-分段函数方程