2008-北京卷文-17 解-奇函数定参与三次函数单调

本题导读

考查奇函数定参与三次函数单调性。$g$ 奇 $\Rightarrow a=0$、$c=2$；$f^{\prime }(x)=3(x^2+b)$：$b>0$ 恒正增于 $\mathbf{R}$，$b<0$ 在 $\pm \sqrt{-b}$ 处转折、增减增。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+3bx+c$（$b\ne 0$），且 $g(x)=f(x)-2$ 是奇函数.

(1)求 $a$，$c$ 的值；

(2)求函数 $f(x)$ 的单调区间.

🔍【思路分析】

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1. 奇函数满足 $g(-x)=-g(x)$，比较系数：$x^2$ 项系数 $a=0$，常数项 $c-2=0$。
2. $f(x)=x^3+3bx$，$f^{\prime }(x)=3x^2+3b=3(x^2+b)$。
3. $b>0$：$f^{\prime }>0$ 恒成立；$b<0$：$f^{\prime }=0$ 于 $x=\pm \sqrt{-b}$，列表定号。

✅【答案】

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(1)$a=0$，$c=2$；(2)当 $b>0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,+\infty )$；当 $b<0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty ,-\sqrt{-b}\right)$ 和 $\left(\sqrt{-b},+\infty \right)$，单调递减区间为 $\left(-\sqrt{-b},\sqrt{-b}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$g(x)=f(x)-2=x^3+a{x}^2+3bx+c-2$. 因为 $g(x)$ 是奇函数，所以 $g(-x)=-g(x)$ 对任意 $x$ 成立，即 $-x^3+a{x}^2-3bx+c-2=-x^3-a{x}^2-3bx-c+2.$ 比较系数得 $a=-a$ 且 $c-2=-(c-2)$，即 $a=0$，$c=2$. (2)由(1)，$f(x)=x^3+3bx$， $f^{\prime }(x)=3x^2+3b=3\left(x^2+b\right).$ 当 $b>0$ 时，$x^2+b>0$，$f^{\prime }(x)>0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递增； 当 $b<0$ 时，令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $x=\pm \sqrt{-b}$. $x\in \left(-\infty ,-\sqrt{-b}\right)$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增； $x\in \left(-\sqrt{-b},\sqrt{-b}\right)$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减； $x\in \left(\sqrt{-b},+\infty \right)$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增. 综上，当 $b>0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,+\infty )$；当 $b<0$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty ,-\sqrt{-b}\right)$ 与 $\left(\sqrt{-b},+\infty \right)$，单调递减区间为 $\left(-\sqrt{-b},\sqrt{-b}\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数定参与三次函数单调区间

核心方法：$a=0$，$c=2$；$f^{\prime }(x)=3(x^2+b)$ 按 $b$ 正负分两段讨论

避坑指南：奇函数等价于偶次项系数与常数项为零；$f^{\prime }=3(x^2+b)$：$b>0$ 恒正，$b<0$ 两实根 $\pm \sqrt{-b}$ 分区间定号——分类标准就是 $b$ 的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“奇偶定参 + 含参单调区间”是导数解答题入门型，2010 北京文第 18 题、2010 大纲Ⅱ文第 21 题同型。

结论推广：$g$ 奇 $⟺$ $x^2$ 项与常数项系数为零；$x^2+b$ 的符号由 $b$ 决定。

方法推广：比较系数前先写 $g(-x)=-g(x)$ 的展开式；单调区间必须按 $b>0$、$b<0$ 分别作答（$b\ne 0$ 题设排除 $b=0$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2010-北京卷文-18 解-三次函数无极值点
• 2010-大纲卷II文-21 解-三次函数单调与极值点
• 2009-陕西卷文-20 解-三次函数单调与交点