2008-北京卷理-03 单-函数

本题导读

本题考查反函数的概念与函数单调性之间的逻辑因果关系，深化对“一一映射”与“单调性”之间充要关系的理解。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） “函数 $f(x)(x\in \mathbf{R})$ 存在反函数”是“函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性：若函数 $f(x)$ 存在反函数，推出 $f(x)$ 必须满足单调递增吗？考虑单调递减函数或非连续的一一映射函数。
2. 必要性：若函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数，它是否一定存在反函数？由单调增函数是一一映射进行判定。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $P$：函数 $f(x)(x\in \mathbf{R})$ 存在反函数；$Q$：函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数。 ① 充分性（$P⟹Q$）： 若函数 $f(x)$ 存在反函数，则 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 到其值域的一一映射。 例如函数 $f(x)=-x$，它显然存在反函数 $f^{-1}(x)=-x$，但它在 $\mathbf{R}$ 上是减函数值，不是增函数，故充分性不成立。 ② 必要性（$Q⟹P$）： 若函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数，则对于任意的 $x_1\ne x_2$，必有 $f(x_1)\ne f(x_2)$，即该函数是一一映射，因此必定存在反函数。故必要性成立。 综上所述，“函数 $f(x)(x\in \mathbf{R})$ 存在反函数”是“函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数”的必要而不充分条件。 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数存在反函数的充要条件（定义域到值域上的一一映射）；单调性与反函数的关系。
2. 核心方法：反例排除法（针对充分性）。
3. 避坑指南：容易误认为只有增函数才有反函数，从而错选为充要条件，忽视了减函数也存在反函数这一事实。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题深刻考查了映射、反函数与单调性三大概念的交汇，源自教材中对反函数定义的补充说明。
2. 结论推广: 在连续函数的前提下，存在反函数的充要条件是该函数在定义域上严格单调（单调递增或单调递减）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项