2008-四川卷文-07 单-正弦定理倍角条件

本题导读

$\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}}{2}=2\cos B$，直接得 $\cos B=\frac{\sqrt{5}}{4}$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） $△ABC$ 的三个内角 $A$，$B$，$C$ 的对边边长分别是 $a$，$b$，$c$．若 $a=\frac{\sqrt{5}}{2}b$，$A=2B$，则 $\cos B=$()

A. $\frac{\sqrt{5}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{4}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{5}}{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

边角条件 $A=2B$ 化为正弦：$\sin 2B=2\sin B\cos B$，与边比 $\frac{a}{b}$ 一步对接.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理，$\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\sin 2B}{\sin B}=2\cos B$．结合 $a=\frac{\sqrt{5}}{2}b$，得 $2\cos B=\frac{\sqrt{5}}{2}$，所以 $\cos B=\frac{\sqrt{5}}{4}$．故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理与倍角

核心方法：$A=2B$ 用正弦定理化作 $\frac{a}{b}=2\cos B$

避坑指南：别用余弦定理硬展开——正弦定理一步到位；$\sin 2B=2\sin B\cos B$ 消去 $\sin B$ 时注意 $B\ne 0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理配倍角条件，解三角形常规题型

结论推广：$A=2B⟺a=2b\cos B$（射影定理特例）

方法推广：边角混合条件优先正弦定理统一成角或统一成边

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2016-四川卷文-18
• 2015-四川卷理-19 解-二倍角公式
• 2013-四川卷理-17 解-降幂公式与两角和的余弦公式