2008-四川卷文-13 填-二项式乘积系数

本题导读

$x$ 项两种来源：${\mathrm{C}}_3^1\cdot 2\times 1+{\mathrm{C}}_4^1\cdot (-1)=6-4=2$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） $(1+2x{)}^3(1-x{)}^4$ 展开式中 $x$ 的系数为　　　.

🔍【思路分析】

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两个因式各出一次项与常数项：${\mathrm{C}}_3^1\cdot 2$ 与 ${\mathrm{C}}_4^1\cdot (-1)$，没有其他搭配.

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

要得到 $x$ 项，只有两种取法：从 $(1+2x{)}^3$ 取一次 $x$，从 $(1-x{)}^4$ 取常数；或从前者取常数，从后者取一次 $x$．因此 $x$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_3^1\cdot 2+{\mathrm{C}}_4^1\cdot (-1)=6-4=2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理与乘积系数

核心方法：乘积展开按”次数分配”枚举取法

避坑指南：$(1+2x{)}^3$ 的一次项系数是 ${\mathrm{C}}_3^1\cdot 2=6$（含 2 的因子）；$(1-x{)}^4$ 的一次项系数是 $-4$（负号别丢）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理在乘积展开中的应用

结论推广：$(1+px{)}^m(1+qx{)}^n$ 的一次项系数 $=mp+qn$

方法推广：按次数分配枚举取法，组合数带系数相乘后相加

🔗【关联脉络】

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