2008-四川卷理-11 单-函数

本题导读

本题考查函数的周期性、抽象函数求值。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 设定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)\cdot f(x+2)=13$, 若 $f(1)=2$, 则 $f(99)=$ ()

A. 13　　　　　　B. 2　　　　　　C. $\frac{13}{2}$　　　　　　D. $\frac{2}{13}$

🔍【思路分析】

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1. 根据已知递推式 $f(x)\cdot f(x+2)=13$，用 $x+2$ 替换 $x$ 找出 $f(x)$ 与 $f(x+4)$ 的关系，确定周期。
2. 利用周期性将待求的 $f(99)$ 转化为已知范围内的函数值进行计算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由已知 $f(x)\cdot f(x+2)=13$，可知 $f(x)\ne 0$。 则 $f(x+2)=\frac{13}{f(x)}$。 用 $x+2$ 替代式中的 $x$ 可得： $f(x+4)=\frac{13}{f(x+2)}=\frac{13}{\frac{13}{f(x)}}=f(x)$ 所以函数 $f(x)$ 是以 4 为周期的周期函数。 因此： $f(99)=f(4\times 24+3)=f(3)$ 又由已知当 $x=1$ 时： $f(1)\cdot f(3)=13⟹2\cdot f(3)=13⟹f(3)=\frac{13}{2}$ 所以 $f(99)=\frac{13}{2}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数的周期性性质。常见规律：$f(x+a)=\frac{k}{f(x)}⟹T=2a$。
2. 核心方法：构造法与周期消项法。
3. 避坑指南：计算 $99÷4$ 的余数时要准确，避免因周期截断错误误选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中函数基本性质章节的拔高拓展题，常用于考查归纳与演绎推理能力。
2. 结论推广：若 $f(x+a)\cdot f(x)=k(k\ne 0)$，则 $f(x+2a)=f(x)$，即 $2a$ 是该函数的一个周期。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项