2008-大纲卷I文-09 单-三角图象平移

本题导读

考查图象平移。$\sin \left(x+\frac{5\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\left(x+\frac{5\pi }{6}\right)\right)$ 经诱导公式恰为 $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$，故向左平移 $\frac{5\pi }{6}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 为得到函数 $y=\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象，只需将函数 $y=\sin x$ 的图象()

A. 向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个长度单位　　　　　　B. 向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个长度单位

C. 向左平移 $\frac{5\pi }{6}$ 个长度单位　　　　　D. 向右平移 $\frac{5\pi }{6}$ 个长度单位

🔍【思路分析】

破题导航

1. 目标是把 $\sin x$ 平移成 $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$。
2. 用诱导公式 $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$：$\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(x+\frac{5\pi }{6}\right)$。
3. 左移 $\phi$ 即得 $\sin (x+\phi )$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式 $\cos \alpha =\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)$，得 $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(x+\frac{5\pi }{6}\right).$ 将 $y=\sin x$ 的图象向左平移 $\frac{5\pi }{6}$ 个单位，即得 $y=\sin \left(x+\frac{5\pi }{6}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角图象平移与诱导公式

核心方法：$\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(x+\frac{5\pi }{6}\right)$，左移 $\frac{5\pi }{6}$

避坑指南：$\sin \to \cos$ 要借 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=\cos \alpha$；把目标函数先统一成 $\sin (x+\phi )$ 再读平移量；“左加右减”对自变量 $x$ 而言。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图象平移是三角小题高频题，2009 山东文第 3 题、2010 辽宁文第 6 题同型。

结论推广：$\sin x$ 左移 $\phi$ 得 $\sin (x+\phi )$；$\cos \alpha =\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)$；平移量针对 $x$ 本身（系数为 $1$ 时）。

方法推广：先统一函数名（sin/cos），再统一成 $f(x+\phi )$ 形式读平移；平移方向由 $\phi$ 的正负决定，$\phi >0$ 左移。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-03 单-三角图象平移
• 2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称
• 2010-辽宁卷文-06 单-三角图象平移与周期
• 2009-大纲卷II文-09 单-正切图象平移重合