2008-大纲卷I文-21 解-导数单调性含参

本题导读

考查导数与单调性。$f^{\prime }$ 判别式分 $a^2<3$、$a^2=3$、$a^2>3$ 三类；第(2)问由 $f^{\prime }\left(-\frac{1}{3}\right)⩽0$ 得 $a⩾2$，且 $a⩾2$ 时区间内 $f^{\prime }(x)⩽3x^2+4x+1<0$，故 $a\in [2,+\infty )$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+a{x}^2+x+1$，$a\in \mathbf{R}$.

(1)讨论函数 $f(x)$ 的单调区间；

(2)设函数 $f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$ 内是减函数，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1)$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+1$，判别式 $\Delta =4(a^2-3)$，按 $a^2$ 与 $3$ 的大小分三类讨论。
2. $a^2⩽3$ 时 $f^{\prime }⩾0$ 恒成立，全 $\mathbf{R}$ 递增；$a^2>3$ 时两根 $x_{1,2}=\frac{-a\mp \sqrt{a^2-3}}{3}$，增减增。
3. (2)区间内减 $\Rightarrow$ 端点极限处 $f^{\prime }⩽0$；再验证 $a⩾2$ 的充分性。

✅【答案】

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(1)见解析；(2)$a\in [2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1)对函数求导，得 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+1$，其判别式为 $\Delta =(2a{)}^2-4\times 3\times 1=4(a^2-3).$ 当 $a^2<3$ 时，$\Delta <0$ 且二次项系数为正，所以 $f^{\prime }(x)>0$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 成立，函数在 $\mathbf{R}$ 上单调递增. 当 $a^2=3$ 时，$f^{\prime }(x)⩾0$ 且只有一个零点，函数仍在 $\mathbf{R}$ 上单调递增. 当 $a^2>3$ 时，令 $x_1=\frac{-a-\sqrt{a^2-3}}{3},x_2=\frac{-a+\sqrt{a^2-3}}{3},$ 则 $x_1<x_2$，并且 $f^{\prime }(x)=3(x-x_1)(x-x_2)$. 因此函数在 $(-\infty ,x_1)$ 和 $(x_2,+\infty )$ 上单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减. (2)因为函数在开区间 $\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)$ 内为减函数，且 $f$ 可导，所以该区间内 $f^{\prime }(x)⩽0$. 由连续性，令 $x$ 趋近于 $-\frac{1}{3}$，得到 $f^{\prime }\left(-\frac{1}{3}\right)=3\times \frac{1}{9}-\frac{2a}{3}+1=\frac{4-2a}{3}⩽0,$ 所以 $a⩾2$. 反之，若 $a⩾2$，由于区间内 $x<0$，有 $2ax⩽4x$，从而 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+1⩽3x^2+4x+1=(3x+1)(x+1)<0,$ 其中 $-\frac{2}{3}<x<-\frac{1}{3}$. 因此 $f(x)$ 在该区间内为减函数. 故 $a$ 的取值范围是 $[2,+\infty )$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数单调性含参讨论

核心方法：$\Delta =4(a^2-3)$ 三分；$f^{\prime }\left(-\frac{1}{3}\right)⩽0\Rightarrow a⩾2$，充分性借 $2ax⩽4x$

避坑指南：$f^{\prime }$ 恒正 $⟺$ 判别式 $⩽0$（开口向上）；开区间内减函数 $\Rightarrow$ 端点极限处 $f^{\prime }⩽0$；充分性证明的枢纽是 $x<0$ 时 $a⩾2$ 两边乘 $x$ 不等号反向，得 $ax⩽2x$，即 $2ax⩽4x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次函数含参单调是大题高频，2009 大纲Ⅰ文第 21 题、2009 新课标Ⅰ文第 21 题同型。

结论推广：$\Delta ⩽0⟺$ 恒非负；连续函数在闭区间端点的极限；$x<0$ 时 $a⩾2$ 两边乘 $x$ 得 $ax⩽2x$，即 $2ax⩽4x$。

方法推广：讨论先看判别式，再写两根；“区间内单调”问题转化为端点导数值约束，最后必须验证充分性（反方向不等式）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立
• 2009-新课标卷文-21 解-三次函数极值与恒成立
• 2009-山东卷文-21 解-导数极值与恒成立