2008-大纲卷I理-05 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的几何性质及前 $n$ 项和的计算，通过等差中项性质化简已知条件求出首项与公差即可。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷I(理)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2+a_4=4$，$a_3+a_5=10$，则它的前 10 项的和 $S_{10}=$ ()

A. 138　　　　　　B. 135　　　　　　C. 95　　　　　　D. 23

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差中项性质 $a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n$，由已知条件直接求出 $a_3$ 和 $a_4$ 的值。
2. 作差求出公差 $d$，进而求出首项 $a_1$。
3. 代入等差数列前 $n$ 项和公式计算 $S_{10}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列的性质得： $a_2+a_4=2a_3=4\Rightarrow a_3=2$ $a_3+a_5=2a_4=10\Rightarrow a_4=5$ 则公差 $d=a_4-a_3=5-2=3$。 首项 $a_1=a_3-2d=2-2\times 3=-4$。 所以前 10 项的和为： $S_{10}=10a_1+\frac{10\times 9}{2}d=10\times (-4)+45\times 3=-40+135=95$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差中项公式及其前 $n$ 项和公式。
2. 核心方法：基本量法，将未知转化为首项和公差的线性方程组。
3. 避坑指南：利用等差中项可以省去联立 $a_1$ 和 $d$ 的繁琐步骤，直接求出中间项，注意求首项时减去对应的公差步数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中等差数列通项与求和的基本常规练习。
2. 结论推广：在等差数列中，若已知 $a_m+a_{m+2}=A$ 且 $a_{m+1}+a_{m+3}=B$，则公差 $d=\frac{B-A}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-12 填-等差数列
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和