2008-大纲卷II文-14 填-男女选人组合计数

本题导读

考查分类计数。“2 男 1 女”或”1 男 2 女”两类，${\mathrm{C}}_{10}^2{\mathrm{C}}_6^1+{\mathrm{C}}_{10}^1{\mathrm{C}}_6^2=270+150=420$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 从 $10$ 名男同学，$6$ 名女同学中选 $3$ 名参加体能测试，则选到的 $3$ 名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有$\underline{}$ 种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分两类：2 男 1 女；1 男 2 女。
2. 每类用乘法计数原理。
3. 两类相加。

✅【答案】

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$420$

✍【详细解析】

Abstract

选 $3$ 人且男女都有，分两类： 第一类，$2$ 男 $1$ 女：${\mathrm{C}}_{10}^2{\mathrm{C}}_6^1=45\times 6=270$ 种； 第二类，$1$ 男 $2$ 女：${\mathrm{C}}_{10}^1{\mathrm{C}}_6^2=10\times 15=150$ 种. 由分类加法计数原理，共有 $270+150=420$ 种不同的选法. 故答案为 $420$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分类加法与分步乘法计数

核心方法：${\mathrm{C}}_{10}^2{\mathrm{C}}_6^1+{\mathrm{C}}_{10}^1{\mathrm{C}}_6^2=270+150=420$

避坑指南：“既有男又有女”按男女配比分类：$(2,1)$ 与 $(1,2)$；每类内部”选男 $\times$ 选女”是分步乘法；两类之间是分类加法；用数字作答别留组合数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分类计数是排列组合基本型，2009 大纲Ⅱ文第 10 题、2010 大纲Ⅱ文第 9 题同型。

结论推广：${\mathrm{C}}_n^m$ 组合数；分类相加、分步相乘；正难则反（总数 $-$ 全男 $-$ 全女）也可。

方法推广：先明确分类标准互斥且完备；算完可用”正难则反”复核：${\mathrm{C}}_{16}^3-{\mathrm{C}}_{10}^3-{\mathrm{C}}_6^3=560-120-20=420$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-10 单-选课组合计数
• 2010-大纲卷II文-09 单-分组分配计数
• 2010-重庆卷文-10 单-排列容斥计数
• 2009-湖北卷文-04 单-分步计数