2010-重庆卷文-10 单-排列容斥计数

本题导读

考查排列与容斥。不受限制的安排 $\frac{6!}{(2!{)}^3}=90$ 种；甲值 14 日：$C_5^1{C}_4^2=30$，乙值 16 日同理 30；甲值14 且乙值16：$4\times 3=12$；容斥得 $90-30-30+12=42$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(文)） 某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午节假期）值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天. 若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不同的安排方法共有()

A. 30 种　　　　　B. 36 种　　　　　C. 42 种　　　　　D. 48 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每天两人不计先后：不受限制总数为 $\frac{6!}{(2!{)}^3}=90$。
2. 容斥：设 $A$=甲值14日、$B$=乙值16日，分别求 $|A|$、$|B|$、$|A\cap B|$。
3. 所求 $=|总|-|A|-|B|+|A\cap B|$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

每天的两人不计先后，因此不受限制的安排总数为 $\frac{6!}{(2!{)}^3}=\frac{720}{8}=90.$ 设事件 $A$ 为甲值 14 日，事件 $B$ 为乙值 16 日. 若甲值 14 日：先从其余 5 人中选 1 人与甲同日，有 $C_5^1$ 种；再从剩余 4 人中选 2 人值 15 日，有 $C_4^2$ 种；最后 2 人值 16 日，故 $|A|=C_5^1{C}_4^2=5\times 6=30.$ 同理 $|B|=30$. 若甲值 14 日且乙值 16 日：甲的同日同事有 4 种选法，乙的同日同事有 3 种选法，其余 2 人值 15 日，故 $|A\cap B|=4\times 3=12.$ 由容斥原理，满足条件的安排数为 $90-30-30+12=42.$ 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列组合与容斥原理

核心方法：总数 $\frac{6!}{(2!{)}^3}=90$；$|A|=C_5^1{C}_4^2=30$、$|B|=30$、$|A\cap B|=12$，答案 $90-30-30+12=42$

避坑指南：每天两人不计先后所以要除以 $(2!{)}^3$；“甲不值14”的对立是”甲值14”，用容斥扣除；$|A\cap B|$ 的计数：甲的同事 4 选、乙的同事 3 选，最后 2 人自动值 15 日。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：带限制的分组分配问题：先算无限制总数，再用容斥扣不满足限制的。

结论推广：$\frac{6!}{(2!{)}^3}$ 是 6 人分成 3 组（每组 2 人）的分组数；容斥 $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$。

方法推广：“甲不值某日”型限制：补集是”甲恰值该日”，逐一算 $|A|$、$|B|$、$|A\cap B|$，注意两人同时受限时的交集计数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-11 单-限制排列
• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列
• 2012-重庆卷文-15 填-排列与古典概型
• 2009-湖北卷文-04 单-分步计数