2008-大纲卷II文-15 填-抛物线中点弦面积

本题导读

考查抛物线焦点弦与面积。中点 $M(2,2)$ 给出 $y_1+y_2=4$，斜率 $k=\frac{4}{y_1+y_2}=1$，得 $AB$：$y=x$，交点 $(0,0)$、$(4,4)$，$F(1,0)$，面积 $2$。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(文)） 已知 $F$ 是抛物线 $C$：$y^2=4x$ 的焦点，$A$、$B$ 是 $C$ 上的两个点，线段 $AB$ 的中点为 $M(2,2)$，则 $△ABF$ 的面积等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，由中点得 $y_1+y_2=4$，$x_1+x_2=4$。
2. 斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y_1-y_2}{\frac{y_1^2-y_2^2}{4}}=\frac{4}{y_1+y_2}=1$。
3. 直线 $AB$：$y-2=x-2$，即 $y=x$，与 $y^2=4x$ 交于 $(0,0)$、$(4,4)$。
4. $F(1,0)$，用行列式求面积。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $y_1^2=4x_1$，$y_2^2=4x_2$. 由 $AB$ 中点为 $M(2,2)$，得 $y_1+y_2=4$. 当 $y_1\ne y_2$ 时，直线 $AB$ 的斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y_1-y_2}{\frac{y_1^2-y_2^2}{4}}=\frac{4}{y_1+y_2}=1.$ 所以直线 $AB$：$y-2=x-2$，即 $y=x$. 代入 $y^2=4x$，得 $x^2=4x$，$x=0$ 或 $x=4$，即 $A$、$B$ 为 $(0,0)$ 与 $(4,4)$. 又焦点 $F(1,0)$，故 $S_{△ABF}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AF}\right|=\frac{1}{2}\left|4\times 0-4\times 1\right|=2.$ （$y_1=y_2=2$ 时 $AB$ 垂直于 $x$ 轴，$A$、$B$ 为 $(1,2)$、$(1,-2)$，与中点 $M(1,2)$ 矛盾，舍去.） 故答案为 $2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦与中点弦

核心方法：$k=\frac{4}{y_1+y_2}=1$，$AB$：$y=x$，交点 $(0,0)$、$(4,4)$，$S=2$

避坑指南：抛物线 $y^2=2px$ 上弦的斜率 $k=\frac{p}{y_1+y_2}$（这里 $2p=4$）；中点给出 $y_1+y_2$；面积用向量叉积或”底 $\times$ 高”皆可；注意验证 $y_1\ne y_2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线中点弦是圆锥曲线高频小题，2009 新课标Ⅰ文第 14 题、2010 大纲Ⅱ文第 15 题同型。

结论推广：$k_{AB}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{2p}{y_1+y_2}$；点差法核心；$S=\frac{1}{2}|x_{AB}\cdot y_{AF}-y_{AB}\cdot x_{AF}|$。

方法推广：点差法三步：两点代入方程 $\to$ 相减 $\to$ 用中点条件替代；求出弦所在直线后回代求交点；面积直接用行列式最不易错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-14 填-抛物线中点定参
• 2009-四川卷文-13 填-抛物线焦准距
• 2010-四川卷文-03 单-抛物线焦准距
• 2009-湖北卷文-20 解-抛物线焦点弦