2008-大纲卷II理-13 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标线性运算以及向量共线的充要条件，属于基础计算题。

📌【题干】

Question

（2008年大纲卷II(理)） 设向量 $\mathbf{a}=(1,2)$, $\mathbf{b}=(2,3)$. 若向量 $\lambda \mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与向量 $\mathbf{c}=(-4,-7)$ 共线，则 $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用向量的坐标线性运算法则求出单重组合向量 $\lambda \mathbf{a}+\mathbf{b}$ 的坐标表示。
2. 根据两平面向量共线的坐标充要条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 列出关于 $\lambda$ 的一元一次方程求解。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

由已知向量坐标可得： $\lambda \mathbf{a}+\mathbf{b}=\lambda (1,2)+(2,3)=(\lambda +2,2\lambda +3)$ 因为向量 $\lambda \mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{c}=(-4,-7)$ 共线， 所以满足交叉相乘相等： $(\lambda +2)\times (-7)-(2\lambda +3)\times (-4)=0$ 展开并化简方程： $-7\lambda -14+8\lambda +12=0\Rightarrow \lambda -2=0\Rightarrow \lambda =2$ 故答案为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的数乘与加法坐标运算、向量共线的代数判别式。
2. 核心方法：坐标交叉相乘相减等于 0。
3. 避坑指南：计算多项式乘法时注意负号的连乘，如 $-(2\lambda +3)\times (-4)$ 变为 $+4(2\lambda +3)$，避免符号弄错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材平面向量坐标表示一节中的常规概念巩固题。
2. 结论推广：若向量 $\mathbf{x}=\lambda \mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{c}$ 共线，则参数 $\lambda =-\frac{\mathbf{b}\times \mathbf{c}}{\mathbf{a}\times \mathbf{c}}$（其中 $\times$ 表示二维向量的外积 $x_1{y}_2-x_2{y}_1$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线