2009-北京卷理-02 单-向量

本题导读

本题考查平面向量共线的充要条件、向量的线性运算。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 已知向量 $\vec{a},\vec{b}$ 不共线， $\vec{c}=k\vec{a}+\vec{b}(k\in \mathbf{R})$, $\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}$. 如果 $\vec{c}\parallel \vec{d}$，那么 ()

A. $k=1$ 且 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 同向　　　　　　B. $k=1$ 且 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 反向

C. $k=-1$ 且 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 同向　　　　　　D. $k=-1$ 且 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 反向

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\vec{c}\parallel \vec{d}$，根据共线向量定理设 $\vec{c}=\lambda \vec{d}$。
2. 代入向量表达式，利用 $\vec{a},\vec{b}$ 不共线，对应系数相等建立方程组，解出 $k$ 和 $\lambda$ 的值。
3. 根据 $\lambda$ 的正负判定两个向量是同向还是反向。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $\vec{c}\parallel \vec{d}$ 且 $\vec{d}\ne \vec{0}$， 根据共线向量基本定理，存在唯一实数 $\lambda$ 使得 $\vec{c}=\lambda \vec{d}$。 代入已知条件得： $k\vec{a}+\vec{b}=\lambda (\vec{a}-\vec{b})⟹k\vec{a}+\vec{b}=\lambda \vec{a}-\lambda \vec{b}$ 整理得： $(k-\lambda )\vec{a}+(1+\lambda )\vec{b}=\vec{0}$。 因为 $\vec{a},\vec{b}$ 是平面内两个不共线的向量，所以： $\{\begin{array}{l}k-\lambda =0\\ 1+\lambda =0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}\lambda =-1\\ k=-1\end{array}$ 因为 $\lambda =-1<0$，所以 $\vec{c}=-\vec{d}$，即 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 方向相反。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共线向量定理 $\vec{a}=\lambda \vec{b}$；平面向量基本定理的基底独立性（不共线向量系数唯一性）。
2. 核心方法：待定系数对应法。
3. 避坑指南：求出 $k=-1$ 后，要注意判定同向反向取决于 $\lambda$ 的符号， $\lambda <0$ 代表反向，不要主观臆断。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自教材平面向量线性运算与共线定理的基本应用，是考查向量代数性质的基础题目。
2. 结论推广: 若 $\vec{a},\vec{b}$ 不共线，向量 $m\vec{a}+n\vec{b}$ 与 $p\vec{a}+q\vec{b}$ 共线的充要条件是分量决定式 $mq-np=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-05 填-法向量直线方程
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心