2008-天津卷文-06 单-三角图象平移伸缩

本题导读

考查图象平移与伸缩。先平移后伸缩：$\sin x\to \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\to \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$，选 C。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 把函数 $y=\sin x$（$x\in \mathbf{R}$）的图象上所有的点向左平行移动 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是()

A. $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$（$x\in \mathbf{R}$）　　　　　　　　　　　　B. $y=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)$（$x\in \mathbf{R}$）

C. $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$（$x\in \mathbf{R}$）　　　　　　　　　　　　D. $y=\sin \left(2x+\frac{2\pi }{3}\right)$（$x\in \mathbf{R}$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 向左平移 $\frac{\pi }{3}$：$x\to x+\frac{\pi }{3}$，得 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$。
2. 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$：$x\to 2x$（只作用在 $x$ 上，相位中的常数不动）。
3. 得 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位： $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right).$ 再把横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍：将 $x$ 换为 $2x$（相位中的 $\frac{\pi }{3}$ 不变），得 $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right).$ 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：图象的平移与伸缩

核心方法：$\sin x\to \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\to \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$

避坑指南：“左加右减”作用在 $x$ 上，伸缩 $x\to 2x$ 只压缩自变量、相位常数不动；先平移后伸缩与先伸缩后平移结果不同，本题按题设顺序执行。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平移伸缩顺序是三角图象题的核心考点，2010 四川文第 7 题、2010 天津文第 8 题同型。

结论推广：平移：$x\to x+\phi$；伸缩：$x\to \omega x$；复合 $y=\sin (\omega x+\phi )$。

方法推广：易错点：伸缩时把 $\frac{\pi }{3}$ 也乘 $2$ 得 $\frac{2\pi }{3}$（错选 D）；口诀”伸缩不动常数”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷文-07 单-三角图象平移伸缩
• 2010-天津卷文-08 单-三角图象平移伸缩
• 2009-山东卷文-03 单-三角图象平移
• 2012-安徽卷文-07 单-三角图象平移