2008-天津卷文-22 解-双曲线渐近线与面积

本题导读

考查双曲线方程与直线相交。渐近线斜率与焦点定方程；直线参数 $m$ 由面积条件解出 $m^2=\frac{(5-4k^2{)}^2}{|k|}$，再代入相交条件 $m^2>4k^2-5$：$|k|<\frac{\sqrt{5}}{2}$ 自动满足，$|k|>\frac{\sqrt{5}}{2}$ 时需 $|k|>\frac{5}{4}$。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 已知中心在原点的双曲线 $C$ 的一个焦点是 $F_1(-3,0)$，一条渐近线的方程是 $\sqrt{5}x-2y=0$.

(1)求双曲线 $C$ 的方程；

(2)若以 $k$（$k\ne 0$）为斜率的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 相交于两个不同的点 $M$，$N$，线段 $MN$ 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{81}{2}$，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1)$c=3$；渐近线 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$ 给 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$；$a^2+b^2=c^2=9$，解 $a^2\cdot \frac{9}{4}=9$，$a^2=4$，$b^2=5$。
2. (2)设 $l:y=kx+m$，代入 $5x^2-4y^2=20$：$(5-4k^2)x^2-8kmx-4m^2-20=0$。两个不同交点：$5-4k^2\ne 0$，$\Delta >0⟺m^2>4k^2-5$。
3. 中点 $x_m=\frac{4km}{5-4k^2}$，$y_m=\frac{5m}{5-4k^2}$；垂直平分线截距 $x_0=\frac{9km}{5-4k^2}$，$y_0=\frac{9m}{5-4k^2}$。
4. 面积 $\frac{1}{2}|x_0{y}_0|=\frac{81|k|m^2}{2(5-4k^2{)}^2}=\frac{81}{2}\Rightarrow |k|m^2=(5-4k^2{)}^2$，即 $m^2=\frac{(5-4k^2{)}^2}{|k|}$。
5. 代入相交条件：$0<|k|<\frac{\sqrt{5}}{2}$ 时 $4k^2-5<0$ 自动满足；$|k|>\frac{\sqrt{5}}{2}$ 时需 $\frac{(4k^2-5{)}^2}{|k|}>4k^2-5⟺4k^2-5>|k|⟺|k|>\frac{5}{4}$。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$；(2)$k\in (-\infty ,-\frac{5}{4})\cup (-\frac{\sqrt{5}}{2},0)\cup (0,\frac{\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{5}{4},+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1)设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）. 由焦点 $F_1(-3,0)$，得 $c=3$；由渐近线 $\sqrt{5}x-2y=0$ 即 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，得 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. 由 $a^2+b^2=c^2=9$，得 $a^2\left(1+\frac{5}{4}\right)=9$，所以 $a^2=4$，$b^2=5$. 双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1.$ (2)设直线 $l:y=kx+m$（$k\ne 0$）. 代入 $5x^2-4y^2=20$，整理得 $(5-4k^2)x^2-8kmx-4m^2-20=0.$ 直线 $l$ 与双曲线交于两个不同点，等价于 $5-4k^2\ne 0,\Delta =64k^2{m}^2+4(5-4k^2)(4m^2+20)>0,$ 即 $m^2>4k^2-5$. 此时 $x_M+x_N=\frac{8km}{5-4k^2},x_m=\frac{x_M+x_N}{2}=\frac{4km}{5-4k^2},y_m=k{x}_m+m=\frac{5m}{5-4k^2}.$ 线段 $MN$ 的垂直平分线方程为 $y-y_m=-\frac{1}{k}(x-x_m)$，其与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点分别为 $x_0=x_m+k{y}_m=\frac{9km}{5-4k^2},y_0=y_m+\frac{x_m}{k}=\frac{9m}{5-4k^2}.$ 所以三角形面积为 $\frac{1}{2}\left|x_0{y}_0\right|=\frac{81\left|k\right|m^2}{2(5-4k^2{)}^2}=\frac{81}{2}\Rightarrow |k|m^2=(5-4k^2{)}^2,$ 即 $m^2=\frac{(5-4k^2{)}^2}{|k|}$. 代入相交条件 $m^2>4k^2-5$： 当 $0<|k|<\frac{\sqrt{5}}{2}$ 时，$4k^2-5<0$，而 $m^2>0$，条件自动满足； 当 $|k|>\frac{\sqrt{5}}{2}$ 时，需 $\frac{(4k^2-5{)}^2}{|k|}>4k^2-5$，两边除以正数 $4k^2-5$，得 $\frac{4k^2-5}{|k|}>1\Rightarrow 4k^2-|k|-5>0\Rightarrow (4|k|+5)(|k|-1)>0.$ 解得 $|k|>\frac{5}{4}$（结合 $|k|>\frac{\sqrt{5}}{2}$，即 $|k|>\frac{5}{4}$）. 综上，$k$ 的取值范围是 $\left(-\infty ,-\frac{5}{4}\right)\cup \left(-\frac{\sqrt{5}}{2},0\right)\cup \left(0,\frac{\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{5}{4},+\infty \right).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线与直线相交的面积条件

核心方法：$|k|m^2=(5-4k^2{)}^2$ 联立 $m^2>4k^2-5$，得 $0<|k|<\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $|k|>\frac{5}{4}$

避坑指南：面积条件解出 $m^2$（用 $k$ 表示），代回相交条件 $\Delta >0$ 化为 $|k|$ 的不等式；按 $4k^2-5$ 的符号分两段，一段自动成立、一段解出 $|k|>\frac{5}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与双曲线相交 + 垂直平分线面积是解析几何压轴构型，2009 上海文第 22 题、2010 天津文第 21 题同型。

结论推广：中点 $x_m=\frac{8km}{2(5-4k^2)}$；垂直平分线截距 $x_0=x_m+k{y}_m$、$y_0=y_m+\frac{x_m}{k}$。

方法推广：渐近线斜率 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 是分界点：$|k|$ 小于它时直线必与双曲线交于两支或一支两点；$|k|>\frac{5}{4}$ 的补集区间 $(\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{5}{4}]$ 正是相交条件卡掉的”伪解”带。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2010-天津卷文-21 解-椭圆弦长与垂直平分线
• 2009-重庆卷文-20 解-双曲线定义最值
• 2010-大纲卷II文-22 解-双曲线中点弦与切圆