2008-天津卷理-08 单-不等式

本题导读

本题考查分段函数的应用、不等式的解法。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x+1,& x<0\\ x-1,& x⩾0\end{array}$，则不等式 $x+(x+1)f(x+1)⩽1$ 的解集是 ()

A. $\{x|-1⩽x⩽\sqrt{2}-1\}$　B. $\{x|x⩽1\}$　C. $\{x|x⩽\sqrt{2}-1\}$　D. $\{x|-\sqrt{2}-1⩽x⩽\sqrt{2}-1\}$

🔍【思路分析】

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1. 观察原式自变量特征，令 $t=x+1$，则 $x=t-1$，将不等式转化为关于 $t$ 的精简形式：$tf(t)⩽2-t$。
2. 针对分段函数的零界点，对 $t$ 分 $t<0$ 和 $t⩾0$ 两种情况去绝对值（或选择对应解析式）进行讨论。
3. 分别解出各段不等式，最后求并集并将 $t$ 还原为 $x$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=x+1$，则 $x=t-1$。 原不等式 $x+(x+1)f(x+1)⩽1$ 可化为： $(t-1)+tf(t)⩽1⟹tf(t)⩽2-t$

对 $t$ 的范围进行分类讨论： ① 当 $t<0$ 时，$f(t)=-t+1$。代入不等式得： $t(-t+1)⩽2-t⟹-t^2+t⩽2-t⟹t^2-2t+2⩾0$ 因为该二次方程的判别式 $\Delta =(-2{)}^2-4\times 1\times 2=-4<0$，且二次项系数大于0， 所以 $t^2-2t+2⩾0$ 恒成立。 即 $t<0$ 均符合题意。

② 当 $t⩾0$ 时，$f(t)=t-1$。代入不等式得： $t(t-1)⩽2-t⟹t^2-t⩽2-t⟹t^2⩽2$ 解得 $-\sqrt{2}⩽t⩽\sqrt{2}$。 结合前提条件 $t⩾0$，此段解集为 $0⩽t⩽\sqrt{2}$。

综合 ①② 可得 $t$ 的取值范围是 $t⩽\sqrt{2}$。 将 $t=x+1$ 代入，得： $x+1⩽\sqrt{2}⟹x⩽\sqrt{2}-1$ 因此不等式的解集为 $\{x|x⩽\sqrt{2}-1\}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的分类讨论机制；一元二次不等式的特殊解法（$\Delta <0$ 的处理）。
2. 核心方法：整体换元法（极其重要，能避免直接展开 $x+1$ 导致解析式极度臃肿）。
3. 避坑指南：容易错选 D。主要原因是在第 ① 步中，误认为 $t^2-2t+2⩾0$ 的解集受限于判别式而丢弃该段，或者是没有将两段解集求并集，导致漏掉了 $x<-1$ 的部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中分段函数与复合不等式求解的拔高综合练习，考查逻辑划分的严密性。
2. 结论推广：事实上，原函数可写为 $f(x)=|x|-1$（当 $x⩾0$ 时 $f(x)=x-1$，当 $x<0$ 时 $f(x)=-x-1$ 并不完全等同，但可发现其本质是距离构造），分类讨论是解决分段函数一箭穿心的标准工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式