2008-天津卷理-09 单-三角函数

本题导读

本题考查函数的奇偶性、函数的单调性。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，且在区间 $[0,+\infty )$ 上是增函数. 令 $a=f\left(\sin \frac{2\pi }{7}\right),b=f\left(\cos \frac{5\pi }{7}\right),c=f\left(\tan \frac{5\pi }{7}\right)$，则 ()

A. $b<a<c$　　B. $c<b<a$　　C. $b<c<a$　　D. $a<b<c$

🔍【思路分析】

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1. 利用偶函数性质 $f(x)=f(|x|)$，将自变量全部加绝对值转化为正数。
2. 利用诱导公式将各三角函数式统一转化到第一象限。
3. 根据其对应的角度大小及三角函数线性质比较自变量的大小，从而得出函数值的大小关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数，所以 $f(x)=f(|x|)$。 对各给定的自变量进行化简和绝对值处理：

• 对于 $a$：自变量绝对值为 $x_1=\left|\sin \frac{2\pi }{7}\right|=\sin \frac{2\pi }{7}$；
• 对于 $b$：因为 $\cos \frac{5\pi }{7}=\cos \left(\pi -\frac{2\pi }{7}\right)=-\cos \frac{2\pi }{7}$，其绝对值为 $x_2=\left|-\cos \frac{2\pi }{7}\right|=\cos \frac{2\pi }{7}$；
• 对于 $c$：因为 $\tan \frac{5\pi }{7}=\tan \left(\pi -\frac{2\pi }{7}\right)=-\tan \frac{2\pi }{7}$，其绝对值为 $x_3=\left|-\tan \frac{2\pi }{7}\right|=\tan \frac{2\pi }{7}$。

现在比较 $\sin \frac{2\pi }{7}$，$\cos \frac{2\pi }{7}$，$\tan \frac{2\pi }{7}$ 的大小： 设 $\theta =\frac{2\pi }{7}$，易知 $\frac{\pi }{4}<\frac{2\pi }{7}<\frac{\pi }{2}$。 在第一象限内，当角度大于 $\frac{\pi }{4}$ 时，恒有 $\sin \theta >\cos \theta$，且 $\tan \theta >1>\sin \theta$。 所以： $\cos \frac{2\pi }{7}<\sin \frac{2\pi }{7}<\tan \frac{2\pi }{7}$ 即 $x_2<x_1<x_3$。 又因为 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上是增函数，所以 $f(x_2)<f(x_1)<f(x_3)$，即 $b<a<c$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数的性质（$f(-x)=f(x)$）；正弦、余弦、正切函数在第一象限的大小规律。
2. 核心方法：转化法（将异名、异象限的三角函数统一）。
3. 避坑指南：容易忽视 $\frac{2\pi }{7}$ 与 $\frac{\pi }{4}$ 的大小比较，熟记当 $\theta \in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$ 时，$\tan \theta >\sin \theta >\cos \theta$ 是秒杀本题的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中函数奇偶性、单调性与三角函数图像性质的综合交汇题。
2. 结论推广：对于任何在 $[0,+\infty )$ 上单调递增的偶函数，比较大小问题均可完美等价为比较自变量绝对值的大小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数