2008-安徽卷理-07 单-充分条件与必

本题导读

本题将常用逻辑用语中的充要条件判定与一元二次方程根的分布相结合，考查分类讨论思想和逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） $a<0$ 是方程 $a{x}^2+2x+1=0$ 至少有一个负数根的 ()

A. 必要不充分条件　　　　　　　　　　B. 充分不必要条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性：若 $a<0$，判断方程 $a{x}^2+2x+1=0$ 的根是否满足“至少有一个负数根”。
2. 必要性：若方程 $a{x}^2+2x+1=0$ 至少有一个负数根，求解参数 $a$ 的取值范围，看是否能推出 $a<0$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

① 充分性验证： 若 $a<0$，方程为一元二次方程，其判别式 $\Delta =4-4a>0$，方程有两个不相等的实数根。 又两根之积 $x_1{x}_2=\frac{1}{a}<0$，说明方程有一个正根和一个负根。 因此，方程“至少有一个负数根”成立，充分性成立。

② 必要性验证： 若方程至少有一个负数根： 当 $a=0$ 时，方程变为 $2x+1=0$，解得 $x=-\frac{1}{2}$，显然有一个负数根，满足条件。此时 $a=0$ 不满足 $a<0$。 因此，必要性不成立。 综上所述，$a<0$ 是方程至少有一个负数根的充分不必要条件。 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分、必要条件的判定，一元二次方程根的分布与系数的关系。
2. 核心方法：利用韦达定理及判别式对二次方程根的符号进行分析；利用特殊值（如 $a=0$）快速检验必要性。
3. 避坑指南：极易忽视 $a=0$ 的情况。当 $a=0$ 时，方程退化为一元一次方程，同样拥有负数根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中简易逻辑与二次方程根的讨论的综合演练题。
2. 结论推广: 方程 $a{x}^2+2x+1=0$ 至少有一个负数根的充要条件是 $a\le 1$。因为 $(-\infty ,0)⊊(-\infty ,1]$，故 $a<0$ 为充分不必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

• 2010-广东卷理-05 单-充分条件与必
• 2010-湖北卷文-10 单-向量夹角与充分条件
• 2012-四川卷文-07 单-向量单位向量与充分条件