2012-四川卷文-07 单-向量单位向量与充分条件

本题导读

本题考查单位向量，以及充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(文)） 设 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 都是非零向量. 下列四个条件中，使 $\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}=\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$ 成立的充分条件是()

A. $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$ 且 $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$　　　　B. $\mathbf{a}=-\mathbf{b}$　　　　C. $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$　　　　D. $\mathbf{a}=2\mathbf{b}$

🔍【思路分析】

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$\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}=\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}⟺\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 同向；四个选项中只有 $\mathbf{a}=2\mathbf{b}$ 保证同向。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$ 是与 $\mathbf{a}$ 同向的单位向量，故等式成立 $⟺\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 同向。

（A）$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$ 且平行时可能反向，不充分；

（B）$\mathbf{a}=-\mathbf{b}$ 反向，不成立；

（C）平行含反向情形，不充分；

（D）$\mathbf{a}=2\mathbf{b}$ 时 $\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}=\frac{2\mathbf{b}}{2|\mathbf{b}|}=\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$，充分。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：单位向量的定义（方向相同长度为 $1$）；向量平行的双向性；充分条件的判定

核心方法：先把 $\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}=\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$ 翻译成”同向”，再逐项检验是否保证同向

避坑指南：平行（$\parallel$）包含同向与反向两种，作”充分条件”时必须排除反向；$\mathbf{a}=-\mathbf{b}$ 是最强的反例。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量概念与充分条件结合题，与 2013 年辽宁卷文第 3 题、2012 年湖北卷文第 13 题同族。

结论推广：$\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}=\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}⟺$ 存在正实数 $\lambda$ 使 $\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}$；$\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}$（$\lambda <0$）时两者单位向量互为相反向量。

方法推广：向量概念题先做”翻译”（把式子翻译成方向与长度的语言），再判断逻辑关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-03 单-同方向单位向量
• 2012-湖北卷文-13 填-向量单位向量与夹角
• 2013-北京卷理-03 单-充分条件、必要条件判定